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Resolver un problema
Ecuaciones trigonométricasTrigonometríaBachillerato≈ 2:09

Halla arcsin(-√2/2) y cada ángulo en [0°, 360°) con sin x = -√2/2

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: arcsin(-√2/2) = -45° (-π/4); soluciones en [0°, 360°): 225°, 315°; general: x = -45° + 360°n o x = 225° + 360°n.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Problema original (inglés): Halla arcsin(-√2/2) y cada ángulo en [0°, 360°) con sin x = -√2/2

Video en inglés: Descargar MP4 (0.8 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    Halla arcsin(-√2/2) y cada ángulo en [0°, 360°) con sin x = -√2/2
  2. 2. Paso a paso
    1. arcsin⁡(−2/2)=−45∘=−π4\operatorname{arcsin}\left(-\sqrt{2}/2\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}
      Valor principal del arcsin, tomado en el rango [−π/2, π/2]
    2. sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x
      El seno también es positivo o negativo en un segundo cuadrante, así que usa x y 180° − x
    3. x=225∘, 315∘(5π4, 7π4)x = 225^\circ,\ 315^\circ \quad (\frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4})
      Soluciones en una vuelta completa, 0° ≤ x < 360°
    4. x=−45∘+360∘n o x=225∘+360∘nx = -45^\circ + 360^\circ n \ \text{o}\ x = 225^\circ + 360^\circ n
      Solución general, n cualquier número entero
  3. 3. La respuesta
    arcsin⁡(−2/2)=−45∘=−π4,x=−45∘+360∘n o x=225∘+360∘n\operatorname{arcsin}\left(-\sqrt{2}/2\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4},\quad x = -45^\circ + 360^\circ n \ \text{o}\ x = 225^\circ + 360^\circ n

    arcsin(-√2/2) = -45°

  4. 4. Comprobación
    • Sustituyendo cada solución: sin(225°) ≈ -0.7071067812; sin(315°) ≈ -0.7071067812.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla arcsin(menos la raíz cuadrada de 2 entre 2 y cada ángulo en [0°, 360°) con sin x es igual a menos la raíz cuadrada de 2 entre 2. Hallar el ángulo cuyo sin es menos la raíz cuadrada de 2 entre 2: el valor principal del arcsin, cada solución de sin(x) es igual a menos la raíz cuadrada de 2 entre 2 en una vuelta y la solución general.

Paso a paso. Valor principal del arcsin, tomado en el rango [−pi/2, pi/2]. menos 45° es un ángulo especial, así que la respuesta es exacta. El seno también es positivo o negativo en un segundo cuadrante, así que usa x y 180° menos x. Soluciones en una vuelta completa, 0° menor o igual que x menor que 360°. Solución general, n cualquier número entero.

La respuesta. Entonces, la respuesta es arcsin(menos la raíz cuadrada de 2 entre 2 es igual a menos 45° (-pi/4); soluciones en [0°, 360°): 225°, 315°; general: x es igual a menos 45° más 360°n o x es igual a 225° más 360°n. Una función trigonométrica inversa devuelve un ángulo, el valor principal. Como las funciones trigonométricas se repiten, la ecuación sin(x) es igual a menos la raíz cuadrada de 2 entre 2 tiene infinitas soluciones; la calculadora enumera las que están en una vuelta y el patrón general.

Comprobación. Sustituyendo cada solución: sin(225°) aproximadamente menos 0.7071067812; sin(315°) aproximadamente menos 0.7071067812.

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