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Resolver un problema
Ecuaciones trigonométricasTrigonometríaBachillerato≈ 1:38

Halla arctan(-1) y cada ángulo en [0°, 360°) con tan x = -1

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: arctan(-1) = -45° (-π/4); soluciones en [0°, 360°): 135°, 315°; general: x = -45° + 180°n.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Problema original (inglés): Halla arctan(-1) y cada ángulo en [0°, 360°) con tan x = -1

Video en inglés: Descargar MP4 (0.6 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    Halla arctan(-1) y cada ángulo en [0°, 360°) con tan x = -1
  2. 2. Paso a paso
    1. arctan⁡(−1)=−45∘=−π4\operatorname{arctan}\left(-1\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}
      Valor principal del arctan, tomado en el rango (−π/2, π/2)
    2. tan⁡(x+180∘)=tan⁡x\tan(x + 180^\circ) = \tan x
      tan se repite cada 180°, así que añade múltiplos de 180°
    3. x=135∘, 315∘(3π4, 7π4)x = 135^\circ,\ 315^\circ \quad (\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4})
      Soluciones en una vuelta completa, 0° ≤ x < 360°
    4. x=−45∘+180∘nx = -45^\circ + 180^\circ n
      Solución general, n cualquier número entero
  3. 3. La respuesta
    arctan⁡(−1)=−45∘=−π4,x=−45∘+180∘n\operatorname{arctan}\left(-1\right) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4},\quad x = -45^\circ + 180^\circ n

    arctan(-1) = -45°

  4. 4. Comprobación
    • Sustituyendo cada solución: tan(135°) ≈ -1; tan(315°) ≈ -1.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla arctan(menos 1) y cada ángulo en [0°, 360°) con tan x es igual a menos 1. Hallar el ángulo cuya tan es menos 1: el valor principal del arctan, cada solución de tan(x) es igual a menos 1 en una vuelta y la solución general.

Paso a paso. Valor principal del arctan, tomado en el rango (−pi/2, pi/2). menos 45° es un ángulo especial, así que la respuesta es exacta. tan se repite cada 180°, así que añade múltiplos de 180°. Soluciones en una vuelta completa, 0° menor o igual que x menor que 360°. Solución general, n cualquier número entero.

La respuesta. Entonces, la respuesta es arctan(menos 1) es igual a menos 45° (-pi/4); soluciones en [0°, 360°): 135°, 315°; general: x es igual a menos 45° más 180°n. Una función trigonométrica inversa devuelve un ángulo, el valor principal. Como las funciones trigonométricas se repiten, la ecuación tan(x) es igual a menos 1 tiene infinitas soluciones; la calculadora enumera las que están en una vuelta y el patrón general.

Comprobación. Sustituyendo cada solución: tan(135°) aproximadamente menos 1; tan(315°) aproximadamente menos 1.

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