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Resolver um problema
Integrais definidasCálculoFaculdade≈ 1:18

Integral definida de e^(-2x) de 0 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Converge: 1/2 ≈ 0.5.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∫0∞e−2x dx\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx
  2. 2. Passos, parte 1
    1. Esta é uma integral imprópria
    2. ∫e−2x dx=−12e2x\int {e}^{-2x}\,dx = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Regra da exponencial: ∫ eᵘ du = eᵘ (dividir pela derivada interna)
    3. F(x)=−12e2xF(x) = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Primitiva
    4. lim⁡x→∞F(x)=0,F(0)=−12≈−0.5\lim_{x \to \infty} F(x) = 0,\quad F(0) = -\frac{1}{2} \approx -0.5
      Calcular a parte de 0 ao infinito
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Somar as partes
  4. 4. A resposta
    ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5

    Converges to 1/2 ≈ 0.5

  5. 5. Verificação
    • Primitiva verificada por derivação ✓
    • Cada limite da primitiva foi calculado e conferido numericamente pelo motor de limites ✓
    • Estimativa numérica truncada (parando a 10⁻⁶ das assíntotas e em ±1000 para limites infinitos): 0.5

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Integral definida de e elevado a menos 2x de 0 a infinito. Calcular a integral imprópria de e elevado a menos 2 x) de 0 até inf.

Passos, parte 1. Esta é uma integral imprópria. Ela é imprópria porque um limite de integração é infinito. Ela é definida como um limite e só converge se todos os limites forem finitos. Regra da exponencial: a integral de eᵘ du igual a eᵘ (dividir pela derivada interna). Primitiva. Calcular a parte de 0 ao infinito.

Passos, parte 2. Somar as partes. Todos os limites são finitos, então a integral converge.

A resposta. Portanto, a resposta é Converge: 1 sobre 2 aproximadamente 0.5. Uma integral imprópria troca o ponto problemático por uma variável, integra normalmente e depois toma um limite. Um limite finito significa que a região infinita ainda assim tem área finita.

Verificação. Primitiva verificada por derivação, o que confere. Cada limite da primitiva foi calculado e conferido numericamente pelo motor de limites, o que confere. Estimativa numérica truncada (parando a 10 elevado a menos 6 das assíntotas e em mais ou menos 1000 para limites infinitos): 0.5.

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