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Resolver um problema
Expansão e fatoraçãoÁlgebraEnsino médio≈ 1:08

Fatorar x³ - 8

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: (x - 2)(x^2 + 2x + 4).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3−8x^{3} - 8
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3−8x^{3} - 8
      Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada
    2. Reconhecer um produto notável
    3. Aplicar o teorema das raízes racionais
    4. x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^{3} - 8 = (x - 2)\left(x^{2} + 2x + 4\right)
      Dividir por (x - 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = 2
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Analisar o fator do segundo grau restante
    2. (x−2)(x2+2x+4)(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)
      Escrever a fatoração completa
  4. 4. A resposta
    (x−2)(x2+2x+4)(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)

    x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)

  5. 5. Verificação
    • Desenvolvendo (x - 2)(x^2 + 2x + 4), obtém-se de volta x^3 - 8.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo menos 8. Fatorar um polinômio sobre os racionais.

Passos, parte 1. Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada. Reconhecer um produto notável. O fator restante é uma diferença de cubos: a ao cubo menos b ao cubo igual a (a menos b)(a ao quadrado mais ab mais b ao quadrado). Aplicar o teorema das raízes racionais. Qualquer raiz racional p/q tem p dividindo o termo constante menos 8 e q dividindo o coeficiente líder 1. Testar esses candidatos fornece a raiz 2. Dividir por (x menos 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a 2.

Passos, parte 2. Analisar o fator do segundo grau restante. O seu discriminante é menos 12, negativo, então ele é irredutível sobre os racionais. Escrever a fatoração completa.

A resposta. Portanto, a resposta é (x menos 2)(x ao quadrado mais 2x mais 4). x ao cubo menos 8 se fatora completamente sobre os racionais como (x menos 2)(x ao quadrado mais 2x mais 4).

Verificação. Desenvolvendo (x menos 2)(x ao quadrado mais 2x mais 4), obtém-se de volta x ao cubo menos 8.

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