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Resolver um problema
Expansão e fatoraçãoÁlgebraEnsino médio≈ 1:18

Fatorar x⁴ - 81

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x4−81x^{4} - 81
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x4−81x^{4} - 81
      Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada
    2. Reconhecer um produto notável
    3. Aplicar o teorema das raízes racionais
    4. x4−81=(x+3)(x3−3x2+9x−27)x^{4} - 81 = (x + 3)\left(x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27\right)
      Dividir por (x + 3) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = -3
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x3−3x2+9x−27=(x−3)(x2+9)x^{3} - 3x^{2} + 9x - 27 = (x - 3)\left(x^{2} + 9\right)
      Dividir por (x - 3) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = 3
    2. Analisar o fator do segundo grau restante
    3. (x−3)(x+3)(x2+9)(x - 3)(x + 3)(x^{2} + 9)
      Escrever a fatoração completa
  4. 4. A resposta
    (x−3)(x+3)(x2+9)(x - 3)(x + 3)(x^{2} + 9)

    x^4 - 81 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)

  5. 5. Verificação
    • Desenvolvendo (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9), obtém-se de volta x^4 - 81.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x elevado a 4 menos 81. Fatorar um polinômio sobre os racionais.

Passos, parte 1. Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada. Reconhecer um produto notável. O fator restante é uma diferença de quadrados: a ao quadrado menos b ao quadrado igual a (a menos b)(a mais b). Aplicar o teorema das raízes racionais. Toda raiz racional p/q tem p dividindo o termo independente menos 81 e q dividindo o coeficiente líder 1. Testar esses candidatos dá as raízes menos 3, 3. Dividir por (x mais 3) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a menos 3.

Passos, parte 2. Dividir por (x menos 3) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a 3. Analisar o fator do segundo grau restante. O seu discriminante é menos 36, negativo, então ele é irredutível sobre os racionais. Escrever a fatoração completa.

A resposta. Portanto, a resposta é (x menos 3)(x mais 3)(x ao quadrado mais 9). x elevado a 4 menos 81 se fatora completamente sobre os racionais como (x menos 3)(x mais 3)(x ao quadrado mais 9).

Verificação. Desenvolvendo (x menos 3)(x mais 3)(x ao quadrado mais 9), obtém-se de volta x elevado a 4 menos 81.

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