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Resolver um problema
MatrizesÁlgebra linearFaculdade≈ 1:11

Encontre os autovalores da matriz [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: λ = 11, 2, 1.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre os autovalores da matriz [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre os autovalores da matriz [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]
  2. 2. Passos, parte 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[200034049]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9\end{bmatrix}
      Escrever a equação característica
    2. p(λ)=λ3−14λ2+35λ−22p(\lambda) = \lambda^{3} - 14\lambda^{2} + 35\lambda - 22
      Polinômio característico
    3. λ=1, λ=2, λ=11\lambda = 1,\ \lambda = 2,\ \lambda = 11
      Raízes racionais encontradas pelo teorema das raízes racionais
    4. [−9000−8404−2] v=0⇒v=⟨0,1,2⟩\begin{bmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 4 \\ 0 & 4 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, 1, 2 \rangle
      Autovetores para λ = 11: resolver (A − λI)v = 0
  3. 3. Passos, parte 2
    1. [000014047] v=0⇒v=⟨1,0,0⟩\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 7\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 0, 0 \rangle
      Autovetores para λ = 2: resolver (A − λI)v = 0
    2. [100024048] v=0⇒v=⟨0,−2,1⟩\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 8\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, -2, 1 \rangle
      Autovetores para λ = 1: resolver (A − λI)v = 0
  4. 4. A resposta
    λ=11, 2, 1\lambda = 11,\ 2,\ 1

    p(λ) roots: 11, 2, 1

  5. 5. Verificação
    • A soma dos autovalores ≈ 14 é igual ao traço 14.
    • O produto dos autovalores é igual ao determinante 22.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre os autovalores da matriz [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]. Calcular os autovalores e os autovetores de uma matriz 3 vezes 3.

Passos, parte 1. Escrever a equação característica. Polinômio característico. Raízes racionais encontradas pelo teorema das raízes racionais. Autovetores para λ igual a 11: resolver (A menos λI)v igual a 0.

Passos, parte 2. Autovetores para λ igual a 2: resolver (A menos λI)v igual a 0. Autovetores para λ igual a 1: resolver (A menos λI)v igual a 0.

A resposta. Portanto, a resposta é λ igual a 11, 2, 1. Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Autovetores: λ igual a 11: ⟨0, 1, 2⟩; λ igual a 2: ⟨1, 0, 0⟩; λ igual a 1: ⟨0, menos 2, 1⟩.

Verificação. A soma dos autovalores aproximadamente 14 é igual ao traço 14. O produto dos autovalores é igual ao determinante 22.

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