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Resolver um problema
MatrizesÁlgebra linearFaculdade≈ 1:02

Encontre os autovalores da matriz [5 4; 1 2]

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: λ = 6, 1.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre os autovalores da matriz [5 4; 1 2]

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre os autovalores da matriz [5 4; 1 2]
  2. 2. Passos, parte 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[5412]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}5 & 4 \\ 1 & 2\end{bmatrix}
      Escrever a equação característica
    2. λ2−(7)λ+(6)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (6) = 0
      Para uma matriz 2×2, ela é λ² − (traço)λ + det
    3. p(λ)=λ2−7λ+6p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 6
      Polinômio característico
    4. λ=1, λ=6\lambda = 1,\ \lambda = 6
      Raízes racionais encontradas pelo teorema das raízes racionais
  3. 3. Passos, parte 2
    1. [−141−4] v=0⇒v=⟨4,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 4 \\ 1 & -4\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 4, 1 \rangle
      Autovetores para λ = 6: resolver (A − λI)v = 0
    2. [4411] v=0⇒v=⟨−1,1⟩\begin{bmatrix}4 & 4 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1 \rangle
      Autovetores para λ = 1: resolver (A − λI)v = 0
  4. 4. A resposta
    λ=6, 1\lambda = 6,\ 1

    p(λ) roots: 6, 1

  5. 5. Verificação
    • A soma dos autovalores ≈ 7 é igual ao traço 7.
    • O produto dos autovalores é igual ao determinante 6.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre os autovalores da matriz [5 4; 1 2]. Calcular os autovalores e os autovetores de uma matriz 2 vezes 2.

Passos, parte 1. Escrever a equação característica. Para uma matriz 2 vezes 2, ela é λ ao quadrado menos (traço)λ mais det. Polinômio característico. Raízes racionais encontradas pelo teorema das raízes racionais.

Passos, parte 2. Autovetores para λ igual a 6: resolver (A menos λI)v igual a 0. Autovetores para λ igual a 1: resolver (A menos λI)v igual a 0.

A resposta. Portanto, a resposta é λ igual a 6, 1. Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Autovetores: λ igual a 6: ⟨4, 1⟩; λ igual a 1: ⟨-1, 1⟩.

Verificação. A soma dos autovalores aproximadamente 7 é igual ao traço 7. O produto dos autovalores é igual ao determinante 6.

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