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Resolver um problema
MatrizesÁlgebra linearFaculdade≈ 1:07

Encontre os autovalores da matriz [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: λ = 3, 3, 1.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre os autovalores da matriz [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre os autovalores da matriz [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]
  2. 2. Passos, parte 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[210120003]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
      Escrever a equação característica
    2. p(λ)=λ3−7λ2+15λ−9p(\lambda) = \lambda^{3} - 7\lambda^{2} + 15\lambda - 9
      Polinômio característico
    3. λ=1, λ=3, λ=3\lambda = 1,\ \lambda = 3,\ \lambda = 3
      Raízes racionais encontradas pelo teorema das raízes racionais
    4. [−1101−10000] v=0⇒v=⟨1,1,0⟩, ⟨0,0,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1, 0 \rangle,\ \langle 0, 0, 1 \rangle
      Autovetores para λ = 3: resolver (A − λI)v = 0
  3. 3. Passos, parte 2
    1. [110110002] v=0⇒v=⟨−1,1,0⟩\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1, 0 \rangle
      Autovetores para λ = 1: resolver (A − λI)v = 0
  4. 4. A resposta
    λ=3, 3, 1\lambda = 3,\ 3,\ 1

    p(λ) roots: 3, 3, 1

  5. 5. Verificação
    • A soma dos autovalores ≈ 7 é igual ao traço 7.
    • O produto dos autovalores é igual ao determinante 9.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre os autovalores da matriz [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]. Calcular os autovalores e os autovetores de uma matriz 3 vezes 3.

Passos, parte 1. Escrever a equação característica. Polinômio característico. Raízes racionais encontradas pelo teorema das raízes racionais. Autovetores para λ igual a 3: resolver (A menos λI)v igual a 0. Multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 2.

Passos, parte 2. Autovetores para λ igual a 1: resolver (A menos λI)v igual a 0.

A resposta. Portanto, a resposta é λ igual a 3, 3, 1. Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Autovetores: λ igual a 3: ⟨1, 1, 0⟩, ⟨0, 0, 1⟩; λ igual a 1: ⟨-1, 1, 0⟩.

Verificação. A soma dos autovalores aproximadamente 7 é igual ao traço 7. O produto dos autovalores é igual ao determinante 9.

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