Pular para o conteúdo
MathSolver Pro
  • Abrir o resolvedor
  • Perguntar ao tutor IA
  • Encontrar um curso AP
  • Criar um quiz
  • Abrir a calculadora
  • Calculadora gráfica
  • Ver todas as calculadoras
  • Ler guias de matemática
↑ ↓Enter para abrir · Esc para fechar
Resolver um problema
Integrais definidasCálculoFaculdade≈ 1:24

Integre 1/(x²+1) de 0 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: Converge: π/2 ≈ 1.570796327.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∫0∞1x2+1 dx\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. Passos, parte 1
    1. Esta é uma integral imprópria
    2. ∫1x2+1 dx=tan⁡−1(x)\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)
      Forma de arco tangente: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
    3. F(x)=tan⁡−1(x)F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)
      Primitiva
    4. lim⁡x→∞F(x)=π2≈1.570796327,F(0)=0\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0
      Calcular a parte de 0 ao infinito
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327
      Somar as partes
  4. 4. A resposta
    ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327

    Converges to π/2 ≈ 1.570796327

  5. 5. Verificação
    • Primitiva verificada por derivação ✓
    • Cada limite da primitiva foi calculado e conferido numericamente pelo motor de limites ✓
    • Estimativa numérica truncada (parando a 10⁻⁶ das assíntotas e em ±1000 para limites infinitos): 1.5698

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Integre 1/(x ao quadrado mais 1) de 0 a infinito. Calcular a integral imprópria de 1 / (x ao quadrado mais 1) de 0 até inf.

Passos, parte 1. Esta é uma integral imprópria. Ela é imprópria porque um limite de integração é infinito. Ela é definida como um limite e só converge se todos os limites forem finitos. Forma de arco tangente: a integral de du/(a ao quadrado mais u ao quadrado) igual a (1/a) vezes arctan(u/a). Primitiva. Calcular a parte de 0 ao infinito.

Passos, parte 2. Somar as partes. Todos os limites são finitos, então a integral converge.

A resposta. Portanto, a resposta é Converge: pi/2 aproximadamente 1.570796327. Uma integral imprópria troca o ponto problemático por uma variável, integra normalmente e depois toma um limite. Um limite finito significa que a região infinita ainda assim tem área finita.

Verificação. Primitiva verificada por derivação, o que confere. Cada limite da primitiva foi calculado e conferido numericamente pelo motor de limites, o que confere. Estimativa numérica truncada (parando a 10 elevado a menos 6 das assíntotas e em mais ou menos 1000 para limites infinitos): 1.5698.

Mais aulas como esta

Integre 1/(x²+1) de 0 a ∞: videoaula passo a passo