Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:20

Производная (ln(2x))/(sin(x²+1))

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = (sin(x² + 1) / x - 2x·ln(2x)·cos(x² + 1)) / sin(x² + 1)².

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ddx[ln⁡(2x)sin⁡(x2+1)]\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left(2x\right)}{\sin\left({x}^{2}+1\right)}\right]
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. ddx[ln⁡(2x)sin⁡(x2+1)]=sin⁡(x2+1)x−2xln⁡(2x)cos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1)2\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left(2x\right)}{\sin\left({x}^{2}+1\right)}\right] = \frac{\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{x}-2x \ln\left(2x\right) \cos\left({x}^{2}+1\right)}{{\sin\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}
      Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[sin⁡(x2+1)]=2cos⁡(x2+1)x\frac{d}{dx}\left[\sin\left({x}^{2}+1\right)\right] = 2\cos\left({x}^{2}+1\right) x
      Производная сложной функции — d/dx[sin u] = cos u · u′
    3. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
    4. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. ddx[ln⁡(2x)]=1x\frac{d}{dx}\left[\ln\left(2x\right)\right] = \frac{1}{x}
      Производная сложной функции — d/dx[ln u] = u′/u
    2. ddx[2x]=2\frac{d}{dx}\left[2x\right] = 2
      Вынесение постоянного множителя
    3. f′(x)=sin⁡(x2+1)x−2xln⁡(2x)cos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1)2f'(x) = \frac{\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{x}-2x \ln\left(2x\right) \cos\left({x}^{2}+1\right)}{{\sin\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}
      Приводим подобные и упрощаем
  4. 4. Ответ
    f′(x)=sin⁡(x2+1)x−2xln⁡(2x)cos⁡(x2+1)sin⁡(x2+1)2f'(x) = \frac{\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{x}-2x \ln\left(2x\right) \cos\left({x}^{2}+1\right)}{{\sin\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}

    f'(x) = (sin(x² + 1) / x - 2x·ln(2x)·cos(x² + 1)) / sin(x² + 1)²

  5. 5. Проверка
    • Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Производная (ln(2x))/(sin(x в квадрате плюс 1)). Найдём производную (ln(2x)) / (sin(x в квадрате плюс 1)) по x.

Шаги, часть 1. Производная частного: (u/v) штрих равно (u штрих v минус uv штрих )/v в квадрате. Производная сложной функции — производная по x[sin u] равно cos u умножить на u штрих. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1.

Шаги, часть 2. Производная сложной функции — производная по x[ln u] равно u штрих /u. Вынесение постоянного множителя. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно (sin(x в квадрате плюс 1) / x минус 2x умножить на ln(2x) умножить на cos(x в квадрате плюс 1)) / sin(x в квадрате плюс 1) в квадрате. Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Похожие уроки

Производная (ln(2x))/(sin(x²+1)) — пошаговый видеоурок