Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:33

Производная ((x²+1)³/(e^(x³)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = (6(x² + 1)²x - 3(x² + 1)³x²) / e^x³.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    ddx[(x2+1)3ex3]\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{3}}{{e}^{{x}^{3}}}\right]
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. ddx[(x2+1)3ex3]=6(x2+1)2x−3(x2+1)3x2ex3\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{3}}{{e}^{{x}^{3}}}\right] = \frac{6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x-3 {\left({x}^{2}+1\right)}^{3} {x}^{2}}{{e}^{{x}^{3}}}
      Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[ex3]=3ex3x2\frac{d}{dx}\left[{e}^{{x}^{3}}\right] = 3{e}^{{x}^{3}} {x}^{2}
      Производная показательной функции: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
    3. ddx[x3]=3x2\frac{d}{dx}\left[{x}^{3}\right] = 3{x}^{2}
      Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    4. ddx[(x2+1)3]=6(x2+1)2x\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}+1\right)}^{3}\right] = 6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x
      Правило дифференцирования степенной функции с цепным правилом: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
    2. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    3. f′(x)=6(x2+1)2x−3(x2+1)3x2ex3f'(x) = \frac{6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x-3 {\left({x}^{2}+1\right)}^{3} {x}^{2}}{{e}^{{x}^{3}}}
      Приводим подобные и упрощаем
  4. 4. Ответ
    f′(x)=6(x2+1)2x−3(x2+1)3x2ex3f'(x) = \frac{6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x-3 {\left({x}^{2}+1\right)}^{3} {x}^{2}}{{e}^{{x}^{3}}}

    f'(x) = (6(x² + 1)²x - 3(x² + 1)³x²) / e^x³

  5. 5. Проверка
    • Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Производная ((x в квадрате плюс 1) в кубе)/(e в степени x в кубе)). Найдите производную ((x в квадрате плюс 1) в кубе) / (e в степени x в кубе)) по x.

Шаги, часть 1. Производная частного: (u/v) штрих равно (u штрих v минус uv штрих )/v в квадрате. Производная показательной функции: производная по x[eᵘ] равно eᵘ умножить на u штрих. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1. Правило дифференцирования степенной функции с цепным правилом: производная по x[u в степени n] равно n умножить на u в степени n минус 1 умножить на u штрих.

Шаги, часть 2. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно (6(x в квадрате плюс 1) в квадратеx минус 3(x в квадрате плюс 1) в кубеx в квадрате) / e в степени x в кубе. Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Похожие уроки

Производная ((x²+1)³/(e^(x³) — пошаговый видеоурок