ПроизводныеМатематический анализВуз≈ 1:14

Найдите d/dx((x² - 1)³ (x + 2))

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: f'(x) = 6(x² - 1)²x(x + 2) + (x² - 1)³.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}-1\right)}^{3} \left( x+2\right)\right]$
2. Шаги, часть 1
1. $\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}-1\right)}^{3} \left( x+2\right)\right] = 6 {\left({x}^{2}-1\right)}^{2} x \left( x+2\right)+{\left({x}^{2}-1\right)}^{3}$
  Производная произведения: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[ x+2\right] = 1$
  Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
3. $\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}-1\right)}^{3}\right] = 6 {\left({x}^{2}-1\right)}^{2} x$
  Правило дифференцирования степенной функции с цепным правилом: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}-1\right] = 2x$
  Производная разности: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
3. Шаги, часть 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Производная степени: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $f'(x) = 6 {\left({x}^{2}-1\right)}^{2} x \left( x+2\right)+{\left({x}^{2}-1\right)}^{3}$
  Приводим подобные и упрощаем
4. Ответ
$f'(x) = 6 {\left({x}^{2}-1\right)}^{2} x \left( x+2\right)+{\left({x}^{2}-1\right)}^{3}$
f'(x) = 6(x² - 1)²x(x + 2) + (x² - 1)³
5. Проверка
- Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите производная по x((x в квадрате минус 1) в кубе (x плюс 2)). Найдите производную ((x в квадрате минус 1) в кубе (x плюс 2)) по x.

Шаги, часть 1. Производная произведения: (uv) штрих равно u штрих v плюс uv штрих. Производная суммы: дифференцируем каждое слагаемое отдельно. Правило дифференцирования степенной функции с цепным правилом: производная по x[u в степени n] равно n умножить на u в степени n минус 1 умножить на u штрих. Производная разности: дифференцируем каждое слагаемое отдельно.

Шаги, часть 2. Производная степени: производная по x[x в степени n] равно n умножить на x в степени n минус 1. Приводим подобные и упрощаем.

Ответ. Итак, ответ: f штрих от x равно 6(x в квадрате минус 1) в квадратеx(x плюс 2) плюс (x в квадрате минус 1) в кубе. Производная строится снаружи внутрь: сумма разбивается на слагаемые, постоянный множитель выносится, для произведений и частных действуют свои правила, а каждая сложная функция умножается на производную внутренней функции (правило дифференцирования сложной функции).

Проверка. Сверено численно с независимой системой символьного дифференцирования в 8 контрольных точках, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки