Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:54

Найдите lim x→0 (1 + x)^(1/x)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = e ≈ 2.718281828.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (1.1 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0(1+x)1x\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}}
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. lim⁡x→0(1+x)1x=e lim⁡x→0[1xln⁡(1+x)]\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{\,\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right)\right]}
      Неопределённость 1^∞ — логарифмируем
    2. lim⁡x→01xln⁡(1+x)=lim⁡x→0ln⁡(x+1)x\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x}
      Неопределённость 0·∞ — записываем в виде частного
    3. lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=lim⁡x→01x+11\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    4. lim⁡x→01x+11=lim⁡x→01x+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1}
      Сокращаем
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. lim⁡x→01x+1=10+1=1\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1
      Непосредственная подстановка
    2. lim⁡x→0(1+x)1x=e1=e\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{1} = e
      Потенцируем результат
  4. 4. Ответ
    lim⁡x→0(1+x)1x=e≈2.718281828\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e \approx 2.718281828

    lim x→0 (1 + x)^(1 / x) = e ≈ 2.718281828

  5. 5. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(0.01) = 2.7048138, f(0.001) = 2.7169239, f(0.0001) = 2.7181459, f(0.00001) = 2.7182682 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 2.731999, f(-0.001) = 2.7196422, f(-0.0001) = 2.7184178, f(-0.00001) = 2.7182954 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 (1 плюс x) в степени 1/x). Найдём предел (1 плюс x) в степени 1 / x) при x → 0.

Шаги, часть 1. Неопределённость 1^∞ — логарифмируем. Запишем степень как e^(показатель умножить на ln основания); так как eᵘ непрерывна, предел равен e в степени предела показателя. Неопределённость 0 умножить на ∞ — записываем в виде частного. Перенося один множитель в знаменатель в виде обратной величины, превращаем 0 умножить на ∞ в 0 делить на 0 или ∞/∞. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем.

Шаги, часть 2. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке. Потенцируем результат.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно e приблизительно 2.718281828. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно 2.7048138, f(0.001) равно 2.7169239, f(0.0001) равно 2.7181459, f(0.00001) равно 2.7182682, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 2.731999, f(минус 0.001) равно 2.7196422, f(минус 0.0001) равно 2.7184178, f(минус 0.00001) равно 2.7182954, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→0 (1 + x)^(1/x) — пошаговый видеоурок