Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:14

Найдите lim x→3 (x² + x - 12)/(x² - 9)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 7/6 ≈ 1.166666667.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→3x2+x−12x2−9\lim_{x \to 3} \frac{{x}^{2}+ x-12}{{x}^{2}-9}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→3x2+x−12x2−9=lim⁡x→32x+12x\lim_{x \to 3} \frac{{x}^{2}+ x-12}{{x}^{2}-9} = \lim_{x \to 3} \frac{2x+1}{2x}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→32x+12x=2⋅3+12⋅3=76≈1.166666667\lim_{x \to 3} \frac{2x+1}{2x} = \frac{2\cdot3+1}{2\cdot3} = \frac{7}{6} \approx 1.166666667
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→3x2+x−12x2−9=76≈1.166666667\lim_{x \to 3} \frac{{x}^{2}+ x-12}{{x}^{2}-9} = \frac{7}{6} \approx 1.166666667

    lim x→3 (x² + x - 12) / (x² - 9) = 7/6 ≈ 1.166666667

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(3.01) = 1.1663894, f(3.001) = 1.1666389, f(3.0001) = 1.1666639, f(3.00001) = 1.1666664 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(2.99) = 1.1669449, f(2.999) = 1.1666944, f(2.9999) = 1.1666694, f(2.99999) = 1.1666669 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 3 (x в квадрате плюс x минус 12)/(x в квадрате минус 9). Найдём предел (x в квадрате плюс x минус 12) / (x в квадрате минус 9) при x → 3.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 3, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 7 делить на 6 приблизительно 1.166666667. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(3.01) равно 1.1663894, f(3.001) равно 1.1666389, f(3.0001) равно 1.1666639, f(3.00001) равно 1.1666664, что верно. Численные значения слева совпадают: f(2.99) равно 1.1669449, f(2.999) равно 1.1666944, f(2.9999) равно 1.1666694, f(2.99999) равно 1.1666669, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→3 (x² + x - 12)/(x² - 9) — пошаговый видеоурок