Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:07

Найдите lim x→0 (e^(2x) - 1)/x

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 2.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0e2x−1x\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{2x}-1}{x}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0e2x−1x=lim⁡x→02e2x1\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{2x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2{e}^{2x}}{1}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→02e2x1=lim⁡x→02e2x\lim_{x \to 0} \frac{2{e}^{2x}}{1} = \lim_{x \to 0} 2{e}^{2x}
      Сокращаем
    3. lim⁡x→02e2x=2e2(0)=2\lim_{x \to 0} 2{e}^{2x} = 2{e}^{2\left(0\right)} = 2
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0e2x−1x=2\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{2x}-1}{x} = 2

    lim x→0 (e^(2x) - 1) / x = 2

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(0.01) = 2.020134, f(0.001) = 2.0020013, f(0.0001) = 2.0002, f(0.00001) = 2.00002 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 1.9801327, f(-0.001) = 1.9980013, f(-0.0001) = 1.9998, f(-0.00001) = 1.99998 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 (e в степени 2x минус 1)/x. Найдём предел (e в степени 2x минус 1) / x при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 2. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно 2.020134, f(0.001) равно 2.0020013, f(0.0001) равно 2.0002, f(0.00001) равно 2.00002, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 1.9801327, f(минус 0.001) равно 1.9980013, f(минус 0.0001) равно 1.9998, f(минус 0.00001) равно 1.99998, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→0 (e^(2x) - 1)/x — пошаговый видеоурок