Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 1:57

Найдите lim x→0 tan(x)/x

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 1.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.7 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0tan⁡(x)x\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)}{x}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0tan⁡(x)x=lim⁡x→0sec⁡(x)21\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}}{1}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→0sec⁡(x)21=lim⁡x→0sec⁡(x)2\lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}}{1} = \lim_{x \to 0} {\sec\left( x\right)}^{2}
      Сокращаем
    3. lim⁡x→0sec⁡(x)2=sec⁡(0)2=1\lim_{x \to 0} {\sec\left( x\right)}^{2} = {\sec\left(0\right)}^{2} = 1
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0tan⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)}{x} = 1

    lim x→0 tan(x) / x = 1

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(0.01) = 1.0000333, f(0.001) = 1.0000003, f(0.0001) = 1, f(0.00001) = 1 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 1.0000333, f(-0.001) = 1.0000003, f(-0.0001) = 1, f(-0.00001) = 1 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 tan(x)/x. Найдём предел tan(x) / x при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 1. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно 1.0000333, f(0.001) равно 1.0000003, f(0.0001) равно 1, f(0.00001) равно 1, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 1.0000333, f(минус 0.001) равно 1.0000003, f(минус 0.0001) равно 1, f(минус 0.00001) равно 1, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→0 tan(x)/x — пошаговый видеоурок