Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:35

Найдите lim x→0 (cos(x)-1)/x

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 0.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.9 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0cos⁡(x)−1x\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0cos⁡(x)−1x=lim⁡x→0−sin⁡(x)1\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{1}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→0−sin⁡(x)1=lim⁡x→0−sin⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} -\sin\left( x\right)
      Сокращаем
    3. lim⁡x→0−sin⁡(x)=−sin⁡(0)=0\lim_{x \to 0} -\sin\left( x\right) = -\sin\left(0\right) = 0
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0cos⁡(x)−1x=0\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{x} = 0

    lim x→0 (cos(x) - 1) / x = 0

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(0.01) = -0.0049999583, f(0.001) = -0.00049999996, f(0.0001) = -0.00005, f(0.00001) = -0.0000050000004 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 0.0049999583, f(-0.001) = 0.00049999996, f(-0.0001) = 0.00005, f(-0.00001) = 0.0000050000004 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 (cos(x) минус 1)/x. Найдём предел (cos(x) минус 1) / x при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 0. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно минус 0.0049999583, f(0.001) равно минус 0.00049999996, f(0.0001) равно минус 0.00005, f(0.00001) равно минус 0.0000050000004, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 0.0049999583, f(минус 0.001) равно 0.00049999996, f(минус 0.0001) равно 0.00005, f(минус 0.00001) равно 0.0000050000004, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→0 (cos(x)-1)/x — пошаговый видеоурок