Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:09

Найдите lim x→1 ln(x)/(x-1)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 1.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→1ln⁡(x)x−1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=lim⁡x→11x1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→11x1=lim⁡x→11x\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}
      Сокращаем
    3. lim⁡x→11x=11=1\lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1} = 1

    lim x→1 ln(x) / (x - 1) = 1

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(1.01) = 0.99503309, f(1.001) = 0.99950033, f(1.0001) = 0.99995, f(1.00001) = 0.999995 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(0.99) = 1.0050336, f(0.999) = 1.0005003, f(0.9999) = 1.00005, f(0.99999) = 1.000005 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 1 ln(x)/(x минус 1). Найдём предел ln(x) / (x минус 1) при x → 1.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 1, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 1. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(1.01) равно 0.99503309, f(1.001) равно 0.99950033, f(1.0001) равно 0.99995, f(1.00001) равно 0.999995, что верно. Численные значения слева совпадают: f(0.99) равно 1.0050336, f(0.999) равно 1.0005003, f(0.9999) равно 1.00005, f(0.99999) равно 1.000005, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→1 ln(x)/(x-1) — пошаговый видеоурок