Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:07

Найдите lim x→∞ e^(-x) x³

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 0.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.7 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→∞e−xx3\lim_{x \to \infty} {e}^{- x} {x}^{3}
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. lim⁡x→∞e−xx3=lim⁡x→∞x3ex\lim_{x \to \infty} {e}^{- x} {x}^{3} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{3}}{{e}^{x}}
      Неопределённость 0·∞ — записываем в виде частного
    2. lim⁡x→∞x3ex=lim⁡x→∞3x2ex\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{3}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3{x}^{2}}{{e}^{x}}
      Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя
    3. lim⁡x→∞3x2ex=lim⁡x→∞6xex\lim_{x \to \infty} \frac{3{x}^{2}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{{e}^{x}}
      Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя
    4. lim⁡x→∞6xex=lim⁡x→∞6xex\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{{e}^{x}}
      Сокращаем
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. lim⁡x→∞6xex=lim⁡x→∞6ex\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{{e}^{x}}
      Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→∞6ex=lim⁡x→∞6ex\lim_{x \to \infty} \frac{6}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{{e}^{x}}
      Сокращаем
    3. lim⁡x→∞6ex=0\lim_{x \to \infty} \frac{6}{{e}^{x}} = 0
      Ограниченный числитель при неограниченном знаменателе
  4. 4. Ответ
    lim⁡x→∞e−xx3=0\lim_{x \to \infty} {e}^{- x} {x}^{3} = 0

    lim x→∞ e^(-x) x³ = 0

  5. 5. Проверка
    • Численные значения при возрастании x совпадают: f(127.18281) = 0, f(1271.8281) = 0, f(12718.281) = 0, f(127182.81) = 0 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше бесконечность e в степени минус x x в кубе. Найдём предел e в степени минус x x в кубе при x → ∞.

Шаги, часть 1. Неопределённость 0 умножить на ∞ — записываем в виде частного. Перенося один множитель в знаменатель в виде обратной величины, превращаем 0 умножить на ∞ в 0 делить на 0 или ∞/∞. Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем.

Шаги, часть 2. Неопределённость ∞/∞ — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Ограниченный числитель при неограниченном знаменателе. Числитель стремится к 6, а знаменатель неограниченно возрастает, поэтому частное стремится к 0.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 0. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения при возрастании x совпадают: f(127.18281) равно 0, f(1271.8281) равно 0, f(12718.281) равно 0, f(127182.81) равно 0, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→∞ e^(-x) x³ — пошаговый видеоурок