Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:09

Найдите lim x→0 sin(5x)/(2x)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 5/2 ≈ 2.5.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0sin⁡(5x)2x\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{2x}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0sin⁡(5x)2x=lim⁡x→05cos⁡(5x)2\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{5\cos\left(5x\right)}{2}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→05cos⁡(5x)2=5cos⁡(5(0))2=52≈2.5\lim_{x \to 0} \frac{5\cos\left(5x\right)}{2} = \frac{5\cos\left(5\left(0\right)\right)}{2} = \frac{5}{2} \approx 2.5
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0sin⁡(5x)2x=52≈2.5\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{2x} = \frac{5}{2} \approx 2.5

    lim x→0 sin(5 x) / (2 x) = 5/2 ≈ 2.5

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(0.01) = 2.4989585, f(0.001) = 2.4999896, f(0.0001) = 2.4999999, f(0.00001) = 2.5 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 2.4989585, f(-0.001) = 2.4999896, f(-0.0001) = 2.4999999, f(-0.00001) = 2.5 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 sin(5x)/(2x). Найдём предел sin(5 x) / (2 x) при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 5 делить на 2 приблизительно 2.5. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно 2.4989585, f(0.001) равно 2.4999896, f(0.0001) равно 2.4999999, f(0.00001) равно 2.5, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 2.4989585, f(минус 0.001) равно 2.4999896, f(минус 0.0001) равно 2.4999999, f(минус 0.00001) равно 2.5, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→0 sin(5x)/(2x) — пошаговый видеоурок