ПределыМатематический анализВуз≈ 1:55

Найдите lim x→0 (x² + x)/x

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 1.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.7 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\lim_{x \to 0} \frac{{x}^{2}+ x}{x}$
2. Пошагово
1. $\lim_{x \to 0} \frac{{x}^{2}+ x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x+1}{1}$
  Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
2. $\lim_{x \to 0} \frac{2x+1}{1} = \lim_{x \to 0} 2x+1$
  Сокращаем
3. $\lim_{x \to 0} 2x+1 = 2\cdot0+1 = 1$
  Непосредственная подстановка
3. Ответ
$\lim_{x \to 0} \frac{{x}^{2}+ x}{x} = 1$
lim x→0 (x² + x) / x = 1
4. Проверка
- Численные значения справа совпадают: f(0.01) = 1.01, f(0.001) = 1.001, f(0.0001) = 1.0001, f(0.00001) = 1.00001 ✓
- Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 0.99, f(-0.001) = 0.999, f(-0.0001) = 0.9999, f(-0.00001) = 0.99999 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 (x в квадрате плюс x)/x. Найдём предел (x в квадрате плюс x) / x при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 1. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно 1.01, f(0.001) равно 1.001, f(0.0001) равно 1.0001, f(0.00001) равно 1.00001, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 0.99, f(минус 0.001) равно 0.999, f(минус 0.0001) равно 0.9999, f(минус 0.00001) равно 0.99999, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки