Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
ПределыМатематический анализВуз≈ 2:12

Найдите lim x→0 (eˣ - 1)/x

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Предел = 1.

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    lim⁡x→0ex−1x\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{x}-1}{x}
  2. 2. Пошагово
    1. lim⁡x→0ex−1x=lim⁡x→0ex1\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{{e}^{x}}{1}
      Неопределённость 0/0 — применяем правило Лопиталя
    2. lim⁡x→0ex1=lim⁡x→0ex\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{x}}{1} = \lim_{x \to 0} {e}^{x}
      Сокращаем
    3. lim⁡x→0ex=e0=1\lim_{x \to 0} {e}^{x} = {e}^{0} = 1
      Непосредственная подстановка
  3. 3. Ответ
    lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{x}-1}{x} = 1

    lim x→0 (e^x - 1) / x = 1

  4. 4. Проверка
    • Численные значения справа совпадают: f(0.01) = 1.0050167, f(0.001) = 1.0005002, f(0.0001) = 1.00005, f(0.00001) = 1.000005 ✓
    • Численные значения слева совпадают: f(-0.01) = 0.99501663, f(-0.001) = 0.99950017, f(-0.0001) = 0.99995, f(-0.00001) = 0.999995 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Найдите lim x- больше 0 (e в степени x минус 1)/x. Найдём предел (e в степени x минус 1) / x при x → 0.

Пошагово. Неопределённость 0 делить на 0 — применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности (это не правило дифференцирования частного). Сокращаем. Непосредственная подстановка. Выражение непрерывно в точке x равно 0, поэтому предел равен его значению в этой точке.

Ответ. Итак, ответ: Предел равно 1. Предел описывает значение, к которому стремится функция, а не обязательно значение, которое она принимает. Если подстановка даёт неопределённость, выражение преобразуют (правило Лопиталя, домножение на сопряжённое или логарифмирование), пока подстановка не сработает.

Проверка. Численные значения справа совпадают: f(0.01) равно 1.0050167, f(0.001) равно 1.0005002, f(0.0001) равно 1.00005, f(0.00001) равно 1.000005, что верно. Численные значения слева совпадают: f(минус 0.01) равно 0.99501663, f(минус 0.001) равно 0.99950017, f(минус 0.0001) равно 0.99995, f(минус 0.00001) равно 0.999995, что верно.

Похожие уроки

Найдите lim x→0 (eˣ - 1)/x — пошаговый видеоурок