Системы уравненийАлгебраСтаршая школа≈ 1:24

Решите систему x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + y - z = 1

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: x = 1, y = 2, z = 3.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\begin{cases} x+ y+ z = 6 \\ x- y+ z = 2 \\ 2x+ y- z = 1 \end{cases}$
2. Шаги, часть 1
1. $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$
  Записываем каждое уравнение в стандартном виде
2. $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
  Составляем расширенную матрицу [A | b]
3. Метод Гаусса — Жордана
4. $R_{2} \to R_{2} - 1R_{1},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}$
  Обнуляем столбец 1 с помощью ведущего элемента в R1
3. Шаги, часть 2
1. $R_{2} \to \tfrac{1}{-2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}$
  Делим R2 на -2
2. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 1R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -9\end{bmatrix}$
  Обнуляем столбец 2 с помощью ведущего элемента в R2
3. $R_{3} \to \tfrac{1}{-3} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
  Делим R3 на -3
4. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
  Обнуляем столбец 3 с помощью ведущего элемента в R3
4. Шаги, часть 3
1. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
  Приведённый ступенчатый вид
2. $x = 1,\ y = 2,\ z = 3$
  Выписываем единственное решение
5. Ответ
$x = 1,\ y = 2,\ z = 3$
x + y + z = 6; x - y + z = 2; 2x + y - z = 1 ⇒ x = 1, y = 2, z = 3
6. Проверка
- Уравнение 1: x + y + z = 6 ✓
- Уравнение 2: x - y + z = 2 ✓
- Уравнение 3: 2x + y - z = 1 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Решите систему x плюс y плюс z равно 6, x минус y плюс z равно 2, 2x плюс y минус z равно 1. Линейных уравнений: 3, неизвестных: 3 (x, y, z).

Шаги, часть 1. Записываем каждое уравнение в стандартном виде. Переносим все члены с переменными влево, а свободные члены вправо. Составляем расширенную матрицу [A | b]. Столбцы: x, y, z | свободный член. Метод Гаусса — Жордана. С помощью элементарных преобразований строк делаем каждый ведущий элемент равным 1 и обнуляем остальные элементы его столбца. Обнуляем столбец 1 с помощью ведущего элемента в R1.

Шаги, часть 2. Делим R2 на минус 2. Обнуляем столбец 2 с помощью ведущего элемента в R2. Делим R3 на минус 3. Обнуляем столбец 3 с помощью ведущего элемента в R3.

Шаги, часть 3. Приведённый ступенчатый вид. Выписываем единственное решение.

Ответ. Итак, ответ: x равно 1, y равно 2, z равно 3. Система имеет ровно одно решение; при подстановке оно обращает каждое уравнение в верное равенство.

Проверка. Уравнение 1: x плюс y плюс z равно 6, что верно. Уравнение 2: x минус y плюс z равно 2, что верно. Уравнение 3: 2x плюс y минус z равно 1, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки