Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Системи рівняньАлгебраСтарша школа≈ 1:24

Розв'яжіть систему x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + y - z = 1

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: x = 1, y = 2, z = 3.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.6 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    {x+y+z=6x−y+z=22x+y−z=1\begin{cases} x+ y+ z = 6 \\ x- y+ z = 2 \\ 2x+ y- z = 1 \end{cases}
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. {x+y+z=6x−y+z=22x+y−z=1\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}
      Записуємо кожне рівняння в стандартному вигляді
    2. [11161−11221−11]\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}
      Складаємо розширену матрицю [A | b]
    3. Метод Гаусса — Жордана
    4. R2→R2−1R1, R3→R3−2R1: [11160−20−40−1−3−11]R_{2} \to R_{2} - 1R_{1},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}
      Зануляємо стовпець 1 за допомогою ведучого елемента в R1
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. R2→1−2R2: [111601020−1−3−11]R_{2} \to \tfrac{1}{-2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}
      Ділимо R2 на -2
    2. R1→R1−1R2, R3→R3+1R2: [1014010200−3−9]R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 1R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -9\end{bmatrix}
      Зануляємо стовпець 2 за допомогою ведучого елемента в R2
    3. R3→1−3R3: [101401020013]R_{3} \to \tfrac{1}{-3} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}
      Ділимо R3 на -3
    4. R1→R1−1R3: [100101020013]R_{1} \to R_{1} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}
      Зануляємо стовпець 3 за допомогою ведучого елемента в R3
  4. 4. Кроки, частина 3
    1. [100101020013]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}
      Зведений східчастий вигляд
    2. x=1, y=2, z=3x = 1,\ y = 2,\ z = 3
      Виписуємо єдиний розв'язок
  5. 5. Відповідь
    x=1, y=2, z=3x = 1,\ y = 2,\ z = 3

    x + y + z = 6; x - y + z = 2; 2x + y - z = 1 ⇒ x = 1, y = 2, z = 3

  6. 6. Перевірка
    • Рівняння 1: x + y + z = 6 ✓
    • Рівняння 2: x - y + z = 2 ✓
    • Рівняння 3: 2x + y - z = 1 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Розв штрих яжіть систему x плюс y плюс z дорівнює 6, x мінус y плюс z дорівнює 2, 2x плюс y мінус z дорівнює 1. Лінійних рівнянь: 3, невідомих: 3 (x, y, z).

Кроки, частина 1. Записуємо кожне рівняння в стандартному вигляді. Переносимо всі члени зі змінними ліворуч, а вільні члени праворуч. Складаємо розширену матрицю [A | b]. Стовпці: x, y, z | вільний член. Метод Гаусса — Жордана. За допомогою елементарних перетворень рядків робимо кожен ведучий елемент рівним 1 і зануляємо решту елементів його стовпця. Зануляємо стовпець 1 за допомогою ведучого елемента в R1.

Кроки, частина 2. Ділимо R2 на мінус 2. Зануляємо стовпець 2 за допомогою ведучого елемента в R2. Ділимо R3 на мінус 3. Зануляємо стовпець 3 за допомогою ведучого елемента в R3.

Кроки, частина 3. Зведений східчастий вигляд. Виписуємо єдиний розв штрих язок.

Відповідь. Отже, відповідь: x дорівнює 1, y дорівнює 2, z дорівнює 3. Система має рівно один розв штрих язок; під час підстановки він перетворює кожне рівняння на правильну рівність.

Перевірка. Рівняння 1: x плюс y плюс z дорівнює 6, що правильно. Рівняння 2: x мінус y плюс z дорівнює 2, що правильно. Рівняння 3: 2x плюс y мінус z дорівнює 1, що правильно.

Схожі уроки

Розв'яжіть систему x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + y - z = 1 — покроковий відеоурок