极限微积分大学≈ 2:09

求 lim x→0 (e^(4x)-1)/sin(x)

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{4x}-1}{\sin\left( x\right)}$
2. 逐步讲解
1. $\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{4x}-1}{\sin\left( x\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{4{e}^{4x}}{\cos\left( x\right)}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
2. $\lim_{x \to 0} \frac{4{e}^{4x}}{\cos\left( x\right)} = \frac{4{e}^{4\left(0\right)}}{\cos\left(0\right)} = 4$
  直接代入
3. 答案
$\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{4x}-1}{\sin\left( x\right)} = 4$
lim x→0 (e^(4x) - 1) / sin(x) = 4
4. 检验
- 从右侧趋近的数值：f(0.01) = 4.0811454, f(0.001) = 4.0080113, f(0.0001) = 4.0008001, f(0.00001) = 4.00008（在此精度下无明显趋势）
- 从左侧趋近的数值：f(-0.01) = 3.9211214, f(-0.001) = 3.9920113, f(-0.0001) = 3.9992001, f(-0.00001) = 3.99992（在此精度下无明显趋势）

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于 0 (e 的 4x 次方减 1)/sin(x). 求 (e 的 4x 次方减 1) / sin(x) 当 x → 0 时的极限。

逐步讲解. 未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。直接代入. 该式子在 x 等于 0 处连续，所以极限等于它在该点的函数值。

答案. 所以答案是极限等于 4. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 从右侧趋近的数值：f(0.01) 等于 4.0811454, f(0.001) 等于 4.0080113, f(0.0001) 等于 4.0008001, f(0.00001) 等于 4.00008（在此精度下无明显趋势）. 从左侧趋近的数值：f(负 0.01) 等于 3.9211214, f(负 0.001) 等于 3.9920113, f(负 0.0001) 等于 3.9992001, f(负 0.00001) 等于 3.99992（在此精度下无明显趋势）.

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