极限微积分大学≈ 2:29

求 lim x→0 (2ˣ - 1)/x

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1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x}$
2. 逐步讲解
1. $\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x} \ln\left(2\right)}{1}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
2. $\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x} \ln\left(2\right)}{1} = \lim_{x \to 0} {2}^{x} \ln\left(2\right)$
  化简
3. $\lim_{x \to 0} {2}^{x} \ln\left(2\right) = {2}^{0} \ln\left(2\right) = \ln\left(2\right) \approx 0.6931471806$
  直接代入
3. 答案
$\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x} = \ln\left(2\right) \approx 0.6931471806$
lim x→0 (2^x - 1) / x = ln(2) ≈ 0.6931471806
4. 检验
- 右侧的数值结果一致：f(0.01) = 0.69555501, f(0.001) = 0.69338746, f(0.0001) = 0.6931712, f(0.00001) = 0.69314958 ✓
- 左侧的数值结果一致：f(-0.01) = 0.69075046, f(-0.001) = 0.69290701, f(-0.0001) = 0.69312316, f(-0.00001) = 0.69314478 ✓

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于 0 (2 的 x 次方减 1)/x. 求 (2 的 x 次方减 1) / x 当 x → 0 时的极限。

逐步讲解. 未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。化简. 直接代入. 该式子在 x 等于 0 处连续，所以极限等于它在该点的函数值。

答案. 所以答案是极限等于 ln(2) 约等于 0.6931471806. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 右侧的数值结果一致：f(0.01) 等于 0.69555501, f(0.001) 等于 0.69338746, f(0.0001) 等于 0.6931712, f(0.00001) 等于 0.69314958，验证成立. 左侧的数值结果一致：f(负 0.01) 等于 0.69075046, f(负 0.001) 等于 0.69290701, f(负 0.0001) 等于 0.69312316, f(负 0.00001) 等于 0.69314478，验证成立.

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文字稿

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