极限微积分大学≈ 2:09

求 lim x→∞ √(x²+x) - x

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x$
2. 逐步讲解
1. $\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x}$
  未定式 ∞ − ∞：改写
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1}$
  未定式 ∞/∞：使用洛必达法则
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1} = 0.5$
  评估极限行为
4. $\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}$
  确定该值
3. 答案
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}$
lim x→∞ sqrt(x² + x) - x = 1/2 ≈ 0.5
4. 检验
- 随着 x 增大，数值结果一致：f(127.18281) = 0.49902101, f(1271.8281) = 0.49990175, f(12718.281) = 0.49999017, f(127182.81) = 0.49999902 ✓

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于无穷大 sqrt(x 的平方加 x) 减 x. 求 sqrt(x 的平方加 x) 减 x 当 x → ∞ 时的极限。

逐步讲解. 未定式 ∞ 减 ∞：改写. 乘以共轭项：(u 减 v)(u 加 v)/(u 加 v) 等于 (u 的平方减 v 的平方)/(u 加 v)。未定式 ∞/∞：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。评估极限行为. 每一项的主导行为决定了极限。确定该值. 重写后的表达式趋于 0.5，在 10 的减 6 次方的误差范围内等于 1 除以 2；下方的收敛数值证实了这一点。

答案. 所以答案是极限等于 1 除以 2 约等于 0.5. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 随着 x 增大，数值结果一致：f(127.18281) 等于 0.49902101, f(1271.8281) 等于 0.49990175, f(12718.281) 等于 0.49999017, f(127182.81) 等于 0.49999902，验证成立.

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