矩阵线性代数大学≈ 1:11

求矩阵 [2 0 0 的特征值；0 3 4；0 4 9]

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。答案: λ = 11, 2, 1.

倍速语言

录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

原题（英语）：求矩阵 [2 0 0 的特征值；0 3 4；0 4 9]

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
求矩阵 [2 0 0 的特征值；0 3 4；0 4 9]
2. 步骤，第1部分
1. $\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9\end{bmatrix}$
  建立特征方程
2. $p(\lambda) = \lambda^{3} - 14\lambda^{2} + 35\lambda - 22$
  特征多项式
3. $\lambda = 1,\ \lambda = 2,\ \lambda = 11$
  用有理根定理求出有理根
4. $\begin{bmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 4 \\ 0 & 4 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, 1, 2 \rangle$
  λ = 11 的特征向量：解 (A − λI)v = 0
3. 步骤，第2部分
1. $\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 7\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 0, 0 \rangle$
  λ = 2 的特征向量：解 (A − λI)v = 0
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 8\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, -2, 1 \rangle$
  λ = 1 的特征向量：解 (A − λI)v = 0
4. 答案
$\lambda = 11,\ 2,\ 1$
p(λ) roots: 11, 2, 1
5. 检验
- 特征值之和 ≈ 14 等于迹 14。
- 特征值之积等于行列式 22。

题目. 题目是：求矩阵 [2 0 0 的特征值；0 3 4；0 4 9]. 求 3 乘 3 矩阵的特征值和特征向量。

步骤，第1部分. 建立特征方程. 特征多项式. 用有理根定理求出有理根. λ 等于 11 的特征向量：解 (A 减 λI)v 等于 0.

步骤，第2部分. λ 等于 2 的特征向量：解 (A 减 λI)v 等于 0. λ 等于 1 的特征向量：解 (A 减 λI)v 等于 0.

答案. 所以答案是 λ 等于 11, 2, 1. 特征值是特征多项式的根。特征向量：λ 等于 11：⟨0, 1, 2⟩；λ 等于 2：⟨1, 0, 0⟩；λ 等于 1：⟨0, 负 2, 1⟩。

检验. 特征值之和约等于 14 等于迹 14。特征值之积等于行列式 22。