矩阵线性代数大学≈ 1:07

求矩阵 [2 1 0 的特征值；1 2 0；0 0 3]

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原题（英语）：求矩阵 [2 1 0 的特征值；1 2 0；0 0 3]

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
求矩阵 [2 1 0 的特征值；1 2 0；0 0 3]
2. 步骤，第1部分
1. $\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$
  建立特征方程
2. $p(\lambda) = \lambda^{3} - 7\lambda^{2} + 15\lambda - 9$
  特征多项式
3. $\lambda = 1,\ \lambda = 3,\ \lambda = 3$
  用有理根定理求出有理根
4. $\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1, 0 \rangle,\ \langle 0, 0, 1 \rangle$
  λ = 3 的特征向量：解 (A − λI)v = 0
3. 步骤，第2部分
1. $\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1, 0 \rangle$
  λ = 1 的特征向量：解 (A − λI)v = 0
4. 答案
$\lambda = 3,\ 3,\ 1$
p(λ) roots: 3, 3, 1
5. 检验
- 特征值之和 ≈ 7 等于迹 7。
- 特征值之积等于行列式 9。

题目. 题目是：求矩阵 [2 1 0 的特征值；1 2 0；0 0 3]. 求 3 乘 3 矩阵的特征值和特征向量。

步骤，第1部分. 建立特征方程. 特征多项式. 用有理根定理求出有理根. λ 等于 3 的特征向量：解 (A 减 λI)v 等于 0. 代数重数 2，几何重数 2。

步骤，第2部分. λ 等于 1 的特征向量：解 (A 减 λI)v 等于 0.

答案. 所以答案是 λ 等于 3, 3, 1. 特征值是特征多项式的根。特征向量：λ 等于 3：⟨1, 1, 0⟩, ⟨0, 0, 1⟩；λ 等于 1：⟨-1, 1, 0⟩。

检验. 特征值之和约等于 7 等于迹 7。特征值之积等于行列式 9。