向量线性代数大学≈ 1:05

求 ⟨2, -1, 3⟩ 的模和单位向量

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。答案: |u| = √14 ≈ 3.741657387; 单位向量 û = ⟨√14/7, -√14/14, 3√14/14⟩.

倍速语言

录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

原题（英语）：求 ⟨2, -1, 3⟩ 的模和单位向量

屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
求 ⟨2, -1, 3⟩ 的模和单位向量
2. 逐步讲解
1. $|\vec u|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 3^2 = 14$
  将分量平方并求和
2. $|\vec u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387$
  对平方和开方求模长
3. $\hat u = \frac{\vec u}{|\vec u|} = \left(\frac{\sqrt{14}}{7},\ -\frac{\sqrt{14}}{14},\ \frac{3\sqrt{14}}{14}\right)$
  将每个分量除以模长得到单位向量
4. $(0.5345224838)^2 + (-0.2672612419)^2 + (0.8017837257)^2 \approx 1$
  检验：单位向量的长度为 1
3. 答案
$|\vec u| = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad \hat u = \left(\frac{\sqrt{14}}{7},\ -\frac{\sqrt{14}}{14},\ \frac{3\sqrt{14}}{14}\right)$
|u| = √14 ≈ 3.741657387; unit vector û = ⟨√14/7, -√14/14, 3√14/14⟩
4. 检验
- 单位向量的分量平方和为 1。

题目. 题目是：求 ⟨2, 负 1, 3⟩ 的模和单位向量. 使用精确分量计算向量模和单位向量。

逐步讲解. 将分量平方并求和. 对平方和开方求模长. 将每个分量除以模长得到单位向量. 分母已分母有理化，因此每个分量都将平方根写在分子上。检验：单位向量的长度为 1.

答案. 所以答案是 |u| 等于根号 14 约等于 3.741657387; 单位向量 û 等于 ⟨根号 14 除以 7, -根号 14 除以 14, 3根号 14 除以 14⟩. 向量的加减和数乘是逐个分量进行的。模长由勾股定理得出，除以模长可得到长度为 1 且方向相同的单位向量。

检验. 单位向量的分量平方和为 1。