定积分微积分大学≈ 1:05

对 x² + 1 从 1 到 2 积分

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\int_{1}^{2} {x}^{2}+1\,dx$
2. 步骤，第1部分
1. $\int_{1}^{2} {x}^{2}+1\,dx$
  写出定积分
2. $\int {x}^{2}\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}$
  幂函数积分法则：∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int 1\,dx = x$
  常数法则：∫ k dx = kx
4. $\int {x}^{2}+1\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}+ x$
  和法则：逐项积分
3. 步骤，第2部分
1. $F(x) = \frac{{x}^{3}}{3}+ x$
  原函数
2. $F(2) - F(1) = 4.666666667 - 1.333333333 = \frac{10}{3} \approx 3.3333333$
  应用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
4. 答案
$\int_{1}^{2} {x}^{2}+1\,dx = \frac{10}{3} \approx 3.3333333$
∫ from 1 to 2 = 10/3 ≈ 3.3333333
5. 检验
- 已对原函数求导并与被积函数比较 ✓
- 自适应辛普森法给出 3.333333333 ✓

题目. 题目是：对 x 的平方加 1 从 1 到 2 积分. 计算 x 的平方加 1 从 x 等于 1 到 x 等于 2 的定积分。

步骤，第1部分. 写出定积分. 幂函数积分法则：积分 x 的 n 次方 dx 等于 x 的 n 加 1 次方/(n 加 1). 常数法则：积分 k dx 等于 kx. 和法则：逐项积分.

步骤，第2部分. 原函数. 应用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）.

答案. 所以答案是 10 除以 3 约等于 3.3333333. 定积分给出曲线与 x 轴之间的有向面积：轴上方的面积记为正，轴下方的面积记为负。

检验. 已对原函数求导并与被积函数比较，验证成立. 自适应辛普森法给出 3.333333333，验证成立.