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Resolver um problema
Integrais indefinidasCálculoFaculdade≈ 1:13

Antiderivada de sin(x)³

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: cos(x)³/3 - cos(x) + C.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∫sin⁡(x)3 dx\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx
  2. 2. Passos, parte 1
    1. ∫sin⁡(x)3 dx\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx
      Partir da integral
    2. sin3(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)0+−1sin⁡(x)cos⁡(x)2sin^{3}( x) = 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}+-1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}
      Potência ímpar: escrever sin^3 u = sin u · (1 − cos² u)^1, depois substituir u = cos
    3. ∫1sin⁡(x)cos⁡(x)0 dx=−1∫u0 du\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -1\int {u}^{0}\,du
      Substituir u = cos(x), então du = (-sin(x)) dx
    4. ∫u0 du=u\int {u}^{0}\,du = u
      Regra da potência: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∫1sin⁡(x)cos⁡(x)0 dx=−cos⁡(x)\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -\cos\left( x\right)
      Substituir de volta u = cos(x)
    2. ∫−1sin⁡(x)cos⁡(x)2 dx=∫u2 du\int -1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}\,dx = \int {u}^{2}\,du
      Substituir u = cos(x), então du = (-sin(x)) dx
    3. ∫sin⁡(x)3 dx=cos⁡(x)33−cos⁡(x)\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right)
      Integrar termo a termo
    4. ∫sin⁡(x)3 dx=cos⁡(x)33−cos⁡(x)+C\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C
      Simplificar e somar a constante de integração
  4. 4. A resposta
    cos⁡(x)33−cos⁡(x)+C\frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C

    ∫ sin(x)³ dx = cos(x)³/3 - cos(x) + C

  5. 5. Verificação
    • Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Antiderivada de sin(x) ao cubo. Calcular a integral indefinida (primitiva) de sin(x) ao cubo em relação a x.

Passos, parte 1. Partir da integral. Potência ímpar: escrever sin ao cubo u igual a sin u vezes (1 menos cos ao quadrado u) elevado a 1, depois substituir u igual a cos. Substituir u igual a cos(x), então du igual a (menos sin(x)) dx. Regra da potência: a integral de x elevado a n dx igual a x elevado a n mais 1/(n mais 1).

Passos, parte 2. Substituir de volta u igual a cos(x). Substituir u igual a cos(x), então du igual a (menos sin(x)) dx. Integrar termo a termo. Simplificar e somar a constante de integração.

A resposta. Portanto, a resposta é cos(x) ao cubo/3 menos cos(x) mais C. Uma primitiva F satisfaz F linha de x igual a f(x). Como a derivada de qualquer constante vale 0, duas primitivas diferem por uma constante C.

Verificação. Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste, o que confere.

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