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Resolver um problema
Integrais indefinidasCálculoFaculdade≈ 1:13

Antiderivada de (x + 1)/x

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: ln(abs(x)) + x + C.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∫x+1x dx\int \frac{x+1}{x}\,dx
  2. 2. Passos, parte 1
    1. ∫x+1x dx\int \frac{x+1}{x}\,dx
      Partir da integral
    2. x+1x=1x+1\frac{x+1}{x} = \frac{1}{x}+1
      Dividir cada termo do numerador pelo denominador
    3. ∫x−1 dx=ln⁡(∣x∣)\int {x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)
      Regra do recíproco: ∫ 1/x dx = ln|x|
    4. ∫1x−1 dx=ln⁡(∣x∣)\int 1{x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)
      Regra da constante vezes função: ∫ k·f dx = k∫ f dx
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∫x0 dx=x\int {x}^{0}\,dx = x
      Regra da potência: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    2. ∫1x0 dx=x\int 1{x}^{0}\,dx = x
      Regra da constante vezes função: ∫ k·f dx = k∫ f dx
    3. ∫1x−1+1x0 dx=ln⁡(∣x∣)+x\int 1{x}^{-1}+1{x}^{0}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x
      Regra da soma: integrar termo a termo
    4. ∫x+1x dx=ln⁡(∣x∣)+x+C\int \frac{x+1}{x}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C
      Simplificar e somar a constante de integração
  4. 4. A resposta
    ln⁡(∣x∣)+x+C\ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C

    ∫ (x + 1) / x dx = ln(abs(x)) + x + C

  5. 5. Verificação
    • Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Antiderivada de (x mais 1)/x. Calcular a integral indefinida (primitiva) de (x mais 1) / x em relação a x.

Passos, parte 1. Partir da integral. Dividir cada termo do numerador pelo denominador. Regra do recíproco: a integral de 1/x dx igual a ln|x|. Regra da constante vezes função: a integral de k vezes f dx igual a k a integral de f dx.

Passos, parte 2. Regra da potência: a integral de x elevado a n dx igual a x elevado a n mais 1/(n mais 1). Regra da constante vezes função: a integral de k vezes f dx igual a k a integral de f dx. Regra da soma: integrar termo a termo. Simplificar e somar a constante de integração.

A resposta. Portanto, a resposta é ln(abs(x)) mais x mais C. Uma primitiva F satisfaz F linha de x igual a f(x). Como a derivada de qualquer constante vale 0, duas primitivas diferem por uma constante C.

Verificação. Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste, o que confere.

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