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Resolver um problema
Expansão e fatoraçãoÁlgebraEnsino médio≈ 1:11

Fatorar x³ + 27

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: (x + 3)(x^2 - 3x + 9).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3+27x^{3} + 27
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3+27x^{3} + 27
      Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada
    2. Reconhecer um produto notável
    3. Aplicar o teorema das raízes racionais
    4. x3+27=(x+3)(x2−3x+9)x^{3} + 27 = (x + 3)\left(x^{2} - 3x + 9\right)
      Dividir por (x + 3) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = -3
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Analisar o fator do segundo grau restante
    2. (x+3)(x2−3x+9)(x + 3)(x^{2} - 3x + 9)
      Escrever a fatoração completa
  4. 4. A resposta
    (x+3)(x2−3x+9)(x + 3)(x^{2} - 3x + 9)

    x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)

  5. 5. Verificação
    • Desenvolvendo (x + 3)(x^2 - 3x + 9), obtém-se de volta x^3 + 27.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo mais 27. Fatorar um polinômio sobre os racionais.

Passos, parte 1. Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada. Reconhecer um produto notável. O fator restante é uma soma de cubos: a ao cubo mais b ao cubo igual a (a mais b)(a ao quadrado menos ab mais b ao quadrado). Aplicar o teorema das raízes racionais. Qualquer raiz racional p/q tem p dividindo o termo constante 27 e q dividindo o coeficiente líder 1. Testar esses candidatos fornece a raiz menos 3. Dividir por (x mais 3) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a menos 3.

Passos, parte 2. Analisar o fator do segundo grau restante. O seu discriminante é menos 27, negativo, então ele é irredutível sobre os racionais. Escrever a fatoração completa.

A resposta. Portanto, a resposta é (x mais 3)(x ao quadrado menos 3x mais 9). x ao cubo mais 27 se fatora completamente sobre os racionais como (x mais 3)(x ao quadrado menos 3x mais 9).

Verificação. Desenvolvendo (x mais 3)(x ao quadrado menos 3x mais 9), obtém-se de volta x ao cubo mais 27.

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