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Resolver um problema
Expansão e fatoraçãoÁlgebraEnsino médio≈ 1:16

Fatorar x⁴ - 16

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x4−16x^{4} - 16
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x4−16x^{4} - 16
      Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada
    2. Reconhecer um produto notável
    3. Aplicar o teorema das raízes racionais
    4. x4−16=(x+2)(x3−2x2+4x−8)x^{4} - 16 = (x + 2)\left(x^{3} - 2x^{2} + 4x - 8\right)
      Dividir por (x + 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = -2
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x3−2x2+4x−8=(x−2)(x2+4)x^{3} - 2x^{2} + 4x - 8 = (x - 2)\left(x^{2} + 4\right)
      Dividir por (x - 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = 2
    2. Analisar o fator do segundo grau restante
    3. (x−2)(x+2)(x2+4)(x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4)
      Escrever a fatoração completa
  4. 4. A resposta
    (x−2)(x+2)(x2+4)(x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4)

    x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)

  5. 5. Verificação
    • Desenvolvendo (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4), obtém-se de volta x^4 - 16.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x elevado a 4 menos 16. Fatorar um polinômio sobre os racionais.

Passos, parte 1. Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada. Reconhecer um produto notável. O fator restante é uma diferença de quadrados: a ao quadrado menos b ao quadrado igual a (a menos b)(a mais b). Aplicar o teorema das raízes racionais. Toda raiz racional p/q tem p dividindo o termo independente menos 16 e q dividindo o coeficiente líder 1. Testar esses candidatos dá as raízes menos 2, 2. Dividir por (x mais 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a menos 2.

Passos, parte 2. Dividir por (x menos 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a 2. Analisar o fator do segundo grau restante. O seu discriminante é menos 16, negativo, então ele é irredutível sobre os racionais. Escrever a fatoração completa.

A resposta. Portanto, a resposta é (x menos 2)(x mais 2)(x ao quadrado mais 4). x elevado a 4 menos 16 se fatora completamente sobre os racionais como (x menos 2)(x mais 2)(x ao quadrado mais 4).

Verificação. Desenvolvendo (x menos 2)(x mais 2)(x ao quadrado mais 4), obtém-se de volta x elevado a 4 menos 16.

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