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Resolver um problema
Expansão e fatoraçãoÁlgebraEnsino médio≈ 1:17

Fatorar x⁴ - 5x² + 4

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x4−5x2+4x^{4} - 5x^{2} + 4
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x4−5x2+4x^{4} - 5x^{2} + 4
      Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada
    2. Aplicar o teorema das raízes racionais
    3. x4−5x2+4=(x+2)(x3−2x2−x+2)x^{4} - 5x^{2} + 4 = (x + 2)\left(x^{3} - 2x^{2} - x + 2\right)
      Dividir por (x + 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = -2
    4. x3−2x2−x+2=(x+1)(x2−3x+2)x^{3} - 2x^{2} - x + 2 = (x + 1)\left(x^{2} - 3x + 2\right)
      Dividir por (x + 1) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = -1
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)\left(x - 2\right)
      Dividir por (x - 1) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = 1
    2. x−2=(x−2)(1)x - 2 = (x - 2)\left(1\right)
      Dividir por (x - 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x = 2
    3. (x−2)(x−1)(x+1)(x+2)(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)
      Escrever a fatoração completa
  4. 4. A resposta
    (x−2)(x−1)(x+1)(x+2)(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)

    x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)

  5. 5. Verificação
    • Desenvolvendo (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2), obtém-se de volta x^4 - 5x^2 + 4.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x elevado a 4 menos 5x ao quadrado mais 4. Fatorar um polinômio sobre os racionais.

Passos, parte 1. Escrever o polinômio na forma reduzida e ordenada. Aplicar o teorema das raízes racionais. Toda raiz racional p/q tem p dividindo o termo independente 4 e q dividindo o coeficiente líder 1. Testar esses candidatos dá as raízes menos 2, menos 1, 1, 2. Dividir por (x mais 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a menos 2. Dividir por (x mais 1) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a menos 1.

Passos, parte 2. Dividir por (x menos 1) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a 1. Dividir por (x menos 2) usando a divisão sintética (Briot-Ruffini) em x igual a 2. Escrever a fatoração completa.

A resposta. Portanto, a resposta é (x menos 2)(x menos 1)(x mais 1)(x mais 2). x elevado a 4 menos 5x ao quadrado mais 4 se fatora completamente sobre os racionais como (x menos 2)(x menos 1)(x mais 1)(x mais 2).

Verificação. Desenvolvendo (x menos 2)(x menos 1)(x mais 1)(x mais 2), obtém-se de volta x elevado a 4 menos 5x ao quadrado mais 4.

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