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Resolver um problema
VetoresÁlgebra linearFaculdade≈ 0:56

Encontre o produto vetorial de ⟨0, 2, 5⟩ e ⟨1, -1, 3⟩

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: u × v = ⟨11, 5, -2⟩.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre o produto vetorial de ⟨0, 2, 5⟩ e ⟨1, -1, 3⟩

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre o produto vetorial de ⟨0, 2, 5⟩ e ⟨1, -1, 3⟩
  2. 2. Passos, parte 1
    1. u×v=∣ijk0251−13∣u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}
      Escrever o determinante com os vetores unitários i, j, k na primeira linha
    2. (2)(3)−(5)(−1)=11(2)(3) - (5)(-1) = 11
      Componente i
    3. −((0)(3)−(5)(1))=5-\big((0)(3) - (5)(1)\big) = 5
      Componente j (atenção ao sinal de menos da expansão)
    4. (0)(−1)−(2)(1)=−2(0)(-1) - (2)(1) = -2
      Componente k
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∣u×v∣=150=56≈12.24744871|u \times v| = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \approx 12.24744871
      Norma = área do paralelogramo determinado por u e v
    2. (u×v)u=0,(u×v)v=0(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0
      Verificar a ortogonalidade
  4. 4. A resposta
    u×v=⟨11,5,−2⟩u \times v = \langle 11, 5, -2 \rangle

    u×v = ⟨11, 5, -2⟩

  5. 5. Verificação
    • O resultado é ortogonal aos dois vetores dados (os dois produtos escalares valem 0).

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o produto vetorial de ⟨0, 2, 5⟩ e ⟨1, menos 1, 3⟩. Produto vetorial de dois vetores 3D.

Passos, parte 1. Escrever o determinante com os vetores unitários i, j, k na primeira linha. Componente i. Componente j (atenção ao sinal de menos da expansão). Componente k.

Passos, parte 2. Norma igual a área do paralelogramo determinado por u e v. Verificar a ortogonalidade.

A resposta. Portanto, a resposta é u vezes v igual a ⟨11, 5, menos 2⟩. O resultado é ortogonal a u e a v; a sua norma 5a raiz quadrada de 6 aproximadamente 12.24744871 é a área do paralelogramo que eles determinam (o triângulo tem metade dessa área).

Verificação. O resultado é ortogonal aos dois vetores dados (os dois produtos escalares valem 0).

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