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Resolver um problema
VetoresÁlgebra linearFaculdade≈ 0:58

Encontre o produto vetorial de ⟨2, 1, -1⟩ e ⟨3, -2, 4⟩

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: u × v = ⟨2, -11, -7⟩.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre o produto vetorial de ⟨2, 1, -1⟩ e ⟨3, -2, 4⟩

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre o produto vetorial de ⟨2, 1, -1⟩ e ⟨3, -2, 4⟩
  2. 2. Passos, parte 1
    1. u×v=∣ijk21−13−24∣u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix}
      Escrever o determinante com os vetores unitários i, j, k na primeira linha
    2. (1)(4)−(−1)(−2)=2(1)(4) - (-1)(-2) = 2
      Componente i
    3. −((2)(4)−(−1)(3))=−11-\big((2)(4) - (-1)(3)\big) = -11
      Componente j (atenção ao sinal de menos da expansão)
    4. (2)(−2)−(1)(3)=−7(2)(-2) - (1)(3) = -7
      Componente k
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∣u×v∣=174=174≈13.19090596|u \times v| = \sqrt{174} = \sqrt{174} \approx 13.19090596
      Norma = área do paralelogramo determinado por u e v
    2. (u×v)u=0,(u×v)v=0(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0
      Verificar a ortogonalidade
  4. 4. A resposta
    u×v=⟨2,−11,−7⟩u \times v = \langle 2, -11, -7 \rangle

    u×v = ⟨2, -11, -7⟩

  5. 5. Verificação
    • O resultado é ortogonal aos dois vetores dados (os dois produtos escalares valem 0).

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o produto vetorial de ⟨2, 1, menos 1⟩ e ⟨3, menos 2, 4⟩. Produto vetorial de dois vetores 3D.

Passos, parte 1. Escrever o determinante com os vetores unitários i, j, k na primeira linha. Componente i. Componente j (atenção ao sinal de menos da expansão). Componente k.

Passos, parte 2. Norma igual a área do paralelogramo determinado por u e v. Verificar a ortogonalidade.

A resposta. Portanto, a resposta é u vezes v igual a ⟨2, menos 11, menos 7⟩. O resultado é ortogonal a u e a v; a sua norma a raiz quadrada de 174 aproximadamente 13.19090596 é a área do paralelogramo que eles determinam (o triângulo tem metade dessa área).

Verificação. O resultado é ortogonal aos dois vetores dados (os dois produtos escalares valem 0).

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