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Resolver um problema
VetoresÁlgebra linearFaculdade≈ 0:41

Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨1, 0, 1⟩ e ⟨0, 1, 1⟩

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: u · v = 1, ângulo ≈ 60°.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨1, 0, 1⟩ e ⟨0, 1, 1⟩

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.3 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨1, 0, 1⟩ e ⟨0, 1, 1⟩
  2. 2. Passos, parte 1
    1. (1)(0)+(0)(1)+(1)(1)(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)
      Multiplicar as componentes correspondentes
    2. uv=0+0+1=1u v = 0 + 0 + 1 = 1
      Somar os produtos
    3. ∣u∣=2=2≈1.414213562,∣v∣=2=2≈1.414213562|u| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562,\quad |v| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562
      Calcular as normas
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=12≈0.5⇒θ≈60° (1.0471976 rad)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{1}{2} \approx 0.5 \Rightarrow \theta \approx 60° \ (1.0471976\text{ rad})
      Ângulo entre os vetores
  3. 3. Passos, parte 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈0.70710678,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨0,12,12⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0.70710678,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \rangle
      Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v
  4. 4. A resposta
    uv=1u v = 1

    u·v = 1

  5. 5. Verificação
    • Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v·u dá o mesmo valor.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨1, 0, 1⟩ e ⟨0, 1, 1⟩. Produto escalar de dois vetores de dimensão 3.

Passos, parte 1. Multiplicar as componentes correspondentes. Somar os produtos. Calcular as normas. Ângulo entre os vetores.

Passos, parte 2. Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v.

A resposta. Portanto, a resposta é u vezes v igual a 1, ângulo aproximadamente 60°. O produto escalar é positivo: o ângulo entre os vetores é, portanto, agudo.

Verificação. Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v vezes u dá o mesmo valor.

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