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Resolver um problema
VetoresÁlgebra linearFaculdade≈ 0:42

Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨2, -1⟩ e ⟨1, 3⟩

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: u · v = -1, ângulo ≈ 98.130102°.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨2, -1⟩ e ⟨1, 3⟩

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.3 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨2, -1⟩ e ⟨1, 3⟩
  2. 2. Passos, parte 1
    1. (2)(1)+(−1)(3)(2)(1) + (-1)(3)
      Multiplicar as componentes correspondentes
    2. uv=2−3=−1u v = 2 - 3 = -1
      Somar os produtos
    3. ∣u∣=5=5≈2.236067977,∣v∣=10=10≈3.16227766|u| = \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2.236067977,\quad |v| = \sqrt{10} = \sqrt{10} \approx 3.16227766
      Calcular as normas
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=−17.0710678≈−0.14142136⇒θ≈98.130102° (1.7126934 rad)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-1}{7.0710678} \approx -0.14142136 \Rightarrow \theta \approx 98.130102° \ (1.7126934\text{ rad})
      Ângulo entre os vetores
  3. 3. Passos, parte 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈−0.31622777,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨−110,−310⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.31622777,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \rangle
      Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v
  4. 4. A resposta
    uv=−1u v = -1

    u·v = -1

  5. 5. Verificação
    • Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v·u dá o mesmo valor.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨2, menos 1⟩ e ⟨1, 3⟩. Produto escalar de dois vetores de dimensão 2.

Passos, parte 1. Multiplicar as componentes correspondentes. Somar os produtos. Calcular as normas. Ângulo entre os vetores.

Passos, parte 2. Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v.

A resposta. Portanto, a resposta é u vezes v igual a menos 1, ângulo aproximadamente 98.130102°. O produto escalar é negativo: o ângulo entre os vetores é, portanto, obtuso.

Verificação. Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v vezes u dá o mesmo valor.

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