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Resolver um problema
VetoresÁlgebra linearFaculdade≈ 0:39

Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨3, 4⟩ e ⟨-4, 3⟩

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: u · v = 0, ângulo ≈ 90°.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨3, 4⟩ e ⟨-4, 3⟩

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.3 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨3, 4⟩ e ⟨-4, 3⟩
  2. 2. Passos, parte 1
    1. (3)(−4)+(4)(3)(3)(-4) + (4)(3)
      Multiplicar as componentes correspondentes
    2. uv=−12+12=0u v = -12 + 12 = 0
      Somar os produtos
    3. ∣u∣=25=5,∣v∣=25=5|u| = \sqrt{25} = 5,\quad |v| = \sqrt{25} = 5
      Calcular as normas
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=025≈0⇒θ≈90° (1.5707963 rad)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{0}{25} \approx 0 \Rightarrow \theta \approx 90° \ (1.5707963\text{ rad})
      Ângulo entre os vetores
  3. 3. Passos, parte 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈0,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨0,0⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, 0 \rangle
      Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v
  4. 4. A resposta
    uv=0u v = 0

    u·v = 0

  5. 5. Verificação
    • Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v·u dá o mesmo valor.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨3, 4⟩ e ⟨-4, 3⟩. Produto escalar de dois vetores de dimensão 2.

Passos, parte 1. Multiplicar as componentes correspondentes. Somar os produtos. Calcular as normas. Ângulo entre os vetores.

Passos, parte 2. Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v.

A resposta. Portanto, a resposta é u vezes v igual a 0, ângulo aproximadamente 90°. O produto escalar vale 0: os vetores são, portanto, ortogonais (perpendiculares).

Verificação. Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v vezes u dá o mesmo valor.

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