Pular para o conteúdo
MathSolver Pro
  • Abrir o resolvedor
  • Perguntar ao tutor IA
  • Encontrar um curso AP
  • Criar um quiz
  • Abrir a calculadora
  • Calculadora gráfica
  • Ver todas as calculadoras
  • Ler guias de matemática
↑ ↓Enter para abrir · Esc para fechar
Resolver um problema
VetoresÁlgebra linearFaculdade≈ 0:43

Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨5, 2, -1⟩ e ⟨1, -3, 4⟩

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: u · v = -5, ângulo ≈ 100.31319°.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨5, 2, -1⟩ e ⟨1, -3, 4⟩

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.3 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨5, 2, -1⟩ e ⟨1, -3, 4⟩
  2. 2. Passos, parte 1
    1. (5)(1)+(2)(−3)+(−1)(4)(5)(1) + (2)(-3) + (-1)(4)
      Multiplicar as componentes correspondentes
    2. uv=5−6−4=−5u v = 5 - 6 - 4 = -5
      Somar os produtos
    3. ∣u∣=30=30≈5.477225575,∣v∣=26=26≈5.099019514|u| = \sqrt{30} = \sqrt{30} \approx 5.477225575,\quad |v| = \sqrt{26} = \sqrt{26} \approx 5.099019514
      Calcular as normas
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=−527.92848≈−0.17902872⇒θ≈100.31319° (1.7507955 rad)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-5}{27.92848} \approx -0.17902872 \Rightarrow \theta \approx 100.31319° \ (1.7507955\text{ rad})
      Ângulo entre os vetores
  3. 3. Passos, parte 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈−0.98058068,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨−526,1526,−1013⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.98058068,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{5}{26}, \frac{15}{26}, -\frac{10}{13} \rangle
      Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v
  4. 4. A resposta
    uv=−5u v = -5

    u·v = -5

  5. 5. Verificação
    • Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v·u dá o mesmo valor.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨5, 2, menos 1⟩ e ⟨1, menos 3, 4⟩. Produto escalar de dois vetores de dimensão 3.

Passos, parte 1. Multiplicar as componentes correspondentes. Somar os produtos. Calcular as normas. Ângulo entre os vetores.

Passos, parte 2. Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v.

A resposta. Portanto, a resposta é u vezes v igual a menos 5, ângulo aproximadamente 100.31319°. O produto escalar é negativo: o ângulo entre os vetores é, portanto, obtuso.

Verificação. Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v vezes u dá o mesmo valor.

Mais aulas como esta

Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨5, 2, -1⟩ e ⟨1, -3, 4⟩: videoaula passo a passo