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Resolver um problema
VetoresÁlgebra linearFaculdade≈ 0:55

Encontre o produto vetorial de ⟨-2, 3, 1⟩ e ⟨4, 0, -5⟩

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: u × v = ⟨-15, -6, -12⟩.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre o produto vetorial de ⟨-2, 3, 1⟩ e ⟨4, 0, -5⟩

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre o produto vetorial de ⟨-2, 3, 1⟩ e ⟨4, 0, -5⟩
  2. 2. Passos, parte 1
    1. u×v=∣ijk−23140−5∣u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ -2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & -5 \end{vmatrix}
      Escrever o determinante com os vetores unitários i, j, k na primeira linha
    2. (3)(−5)−(1)(0)=−15(3)(-5) - (1)(0) = -15
      Componente i
    3. −((−2)(−5)−(1)(4))=−6-\big((-2)(-5) - (1)(4)\big) = -6
      Componente j (atenção ao sinal de menos da expansão)
    4. (−2)(0)−(3)(4)=−12(-2)(0) - (3)(4) = -12
      Componente k
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∣u×v∣=405=95≈20.1246118|u \times v| = \sqrt{405} = 9\sqrt{5} \approx 20.1246118
      Norma = área do paralelogramo determinado por u e v
    2. (u×v)u=0,(u×v)v=0(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0
      Verificar a ortogonalidade
  4. 4. A resposta
    u×v=⟨−15,−6,−12⟩u \times v = \langle -15, -6, -12 \rangle

    u×v = ⟨-15, -6, -12⟩

  5. 5. Verificação
    • O resultado é ortogonal aos dois vetores dados (os dois produtos escalares valem 0).

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o produto vetorial de ⟨-2, 3, 1⟩ e ⟨4, 0, menos 5⟩. Produto vetorial de dois vetores 3D.

Passos, parte 1. Escrever o determinante com os vetores unitários i, j, k na primeira linha. Componente i. Componente j (atenção ao sinal de menos da expansão). Componente k.

Passos, parte 2. Norma igual a área do paralelogramo determinado por u e v. Verificar a ortogonalidade.

A resposta. Portanto, a resposta é u vezes v igual a ⟨-15, menos 6, menos 12⟩. O resultado é ortogonal a u e a v; a sua norma 9a raiz quadrada de 5 aproximadamente 20.1246118 é a área do paralelogramo que eles determinam (o triângulo tem metade dessa área).

Verificação. O resultado é ortogonal aos dois vetores dados (os dois produtos escalares valem 0).

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