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Resolver um problema
VetoresÁlgebra linearFaculdade≈ 0:55

Encontre o produto vetorial de ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨4, 5, 6⟩

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: u × v = ⟨-3, 6, -3⟩.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre o produto vetorial de ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨4, 5, 6⟩

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.4 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    Encontre o produto vetorial de ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨4, 5, 6⟩
  2. 2. Passos, parte 1
    1. u×v=∣ijk123456∣u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}
      Escrever o determinante com os vetores unitários i, j, k na primeira linha
    2. (2)(6)−(3)(5)=−3(2)(6) - (3)(5) = -3
      Componente i
    3. −((1)(6)−(3)(4))=6-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6
      Componente j (atenção ao sinal de menos da expansão)
    4. (1)(5)−(2)(4)=−3(1)(5) - (2)(4) = -3
      Componente k
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∣u×v∣=54=36≈7.348469228|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228
      Norma = área do paralelogramo determinado por u e v
    2. (u×v)u=0,(u×v)v=0(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0
      Verificar a ortogonalidade
  4. 4. A resposta
    u×v=⟨−3,6,−3⟩u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

    u×v = ⟨-3, 6, -3⟩

  5. 5. Verificação
    • O resultado é ortogonal aos dois vetores dados (os dois produtos escalares valem 0).

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o produto vetorial de ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨4, 5, 6⟩. Produto vetorial de dois vetores 3D.

Passos, parte 1. Escrever o determinante com os vetores unitários i, j, k na primeira linha. Componente i. Componente j (atenção ao sinal de menos da expansão). Componente k.

Passos, parte 2. Norma igual a área do paralelogramo determinado por u e v. Verificar a ortogonalidade.

A resposta. Portanto, a resposta é u vezes v igual a ⟨-3, 6, menos 3⟩. O resultado é ortogonal a u e a v; a sua norma 3a raiz quadrada de 6 aproximadamente 7.348469228 é a área do paralelogramo que eles determinam (o triângulo tem metade dessa área).

Verificação. O resultado é ortogonal aos dois vetores dados (os dois produtos escalares valem 0).

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