VetoresÁlgebra linearFaculdade≈ 0:43

Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨4, -5, 6⟩

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: u · v = 12, ângulo ≈ 68.562447°.

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Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Problema original (inglês): Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨4, -5, 6⟩

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Passos na tela

1. O problema
Exemplo resolvido
Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨4, -5, 6⟩
2. Passos, parte 1
1. $(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
  Multiplicar as componentes correspondentes
2. $u v = 4 - 10 + 18 = 12$
  Somar os produtos
3. $|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
  Calcular as normas
4. $\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
  Ângulo entre os vetores
3. Passos, parte 2
1. $\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$
  Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v
4. A resposta
$u v = 12$
u·v = 12
5. Verificação
- Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v·u dá o mesmo valor.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Encontre o produto escalar e o ângulo entre ⟨1, 2, 3⟩ e ⟨4, menos 5, 6⟩. Produto escalar de dois vetores de dimensão 3.

Passos, parte 1. Multiplicar as componentes correspondentes. Somar os produtos. Calcular as normas. Ângulo entre os vetores.

Passos, parte 2. Projeção escalar e projeção ortogonal de u sobre v.

A resposta. Portanto, a resposta é u vezes v igual a 12, ângulo aproximadamente 68.562447°. O produto escalar é positivo: o ângulo entre os vetores é, portanto, agudo.

Verificação. Calculado de forma exata; o produto escalar é simétrico, então v vezes u dá o mesmo valor.

Passos na tela

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