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Resolver um problema
Integrais indefinidasCálculoFaculdade≈ 1:12

Integre cos(x)³

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: sin(x) - sin(x)³/3 + C.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∫cos⁡(x)3 dx\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx
  2. 2. Passos, parte 1
    1. ∫cos⁡(x)3 dx\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx
      Partir da integral
    2. cos3(x)=1cos⁡(x)sin⁡(x)0+−1cos⁡(x)sin⁡(x)2cos^{3}( x) = 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}+-1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}
      Potência ímpar: escrever cos^3 u = cos u · (1 − sin² u)^1, então substituir u = sin
    3. ∫1cos⁡(x)sin⁡(x)0 dx=∫u0 du\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \int {u}^{0}\,du
      Substituir u = sin(x), então du = (cos(x)) dx
    4. ∫u0 du=u\int {u}^{0}\,du = u
      Regra da potência: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. ∫1cos⁡(x)sin⁡(x)0 dx=sin⁡(x)\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \sin\left( x\right)
      Substituir de volta u = sin(x)
    2. ∫−1cos⁡(x)sin⁡(x)2 dx=−1∫u2 du\int -1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = -1\int {u}^{2}\,du
      Substituir u = sin(x), então du = (cos(x)) dx
    3. ∫cos⁡(x)3 dx=sin⁡(x)−sin⁡(x)33\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3}
      Integrar termo a termo
    4. ∫cos⁡(x)3 dx=sin⁡(x)−sin⁡(x)33+C\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C
      Simplificar e somar a constante de integração
  4. 4. A resposta
    sin⁡(x)−sin⁡(x)33+C\sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C

    ∫ cos(x)³ dx = sin(x) - sin(x)³/3 + C

  5. 5. Verificação
    • Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Integre cos(x) ao cubo. Calcular a integral indefinida (primitiva) de cos(x) ao cubo em relação a x.

Passos, parte 1. Partir da integral. Potência ímpar: escrever cos ao cubo u igual a cos u vezes (1 menos sin ao quadrado u) elevado a 1, então substituir u igual a sin. Substituir u igual a sin(x), então du igual a (cos(x)) dx. Regra da potência: a integral de x elevado a n dx igual a x elevado a n mais 1/(n mais 1).

Passos, parte 2. Substituir de volta u igual a sin(x). Substituir u igual a sin(x), então du igual a (cos(x)) dx. Integrar termo a termo. Simplificar e somar a constante de integração.

A resposta. Portanto, a resposta é sin(x) menos sin(x) ao cubo/3 mais C. Uma primitiva F satisfaz F linha de x igual a f(x). Como a derivada de qualquer constante vale 0, duas primitivas diferem por uma constante C.

Verificação. Resultado derivado e comparado com o integrando em 8 pontos de teste, o que confere.

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