MatrizesÁlgebra linearFaculdade≈ 0:44

Inversa de [[2,0,0],[0,3,0],[0,0,4]]

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A⁻¹ = [[1/2, 0, 0], [0, 1/3, 0], [0, 0, 1/4]].

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Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

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Passos na tela

1. O problema
Exemplo resolvido
$\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{-1}$
2. Passos, parte 1
1. $\det A = 24 \neq 0$
  Verificar que o determinante é diferente de zero
2. $\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  Escrever a matriz aumentada [A | I]
3. $R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  Dividir R1 por 2
4. $R_{2} \to \tfrac{1}{3} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  Dividir R2 por 3
3. Passos, parte 2
1. $R_{3} \to \tfrac{1}{4} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$
  Dividir R3 por 4
2. $A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$
  A metade direita agora é a inversa
3. $A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
  Verificação: A·A⁻¹ = I
4. A resposta
$A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$
A⁻¹ = [[1/2, 0, 0], [0, 1/3, 0], [0, 0, 1/4]]
5. Verificação
- Multiplicar A pelo resultado dá exatamente a matriz identidade.

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Inversa de [[2,0,0],[0,3,0],[0,0,4]]. Calcular a inversa de uma matriz 3 vezes 3.

Passos, parte 1. Verificar que o determinante é diferente de zero. Escrever a matriz aumentada [A | I]. Dividir R1 por 2. Dividir R2 por 3.

Passos, parte 2. Dividir R3 por 4. A metade direita agora é a inversa. Verificação: A vezes A elevado a menos 1 igual a I.

A resposta. Portanto, a resposta é A elevado a menos 1 igual a [[1 sobre 2, 0, 0], [0, 1 sobre 3, 0], [0, 0, 1 sobre 4]]. O determinante vale 24, então A é invertível. Todos os elementos da inversa são exatos.

Verificação. Multiplicar A pelo resultado dá exatamente a matriz identidade.

Passos na tela

Transcrição

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