Неопределённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:13

Первообразная sin(x)³

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: cos(x)³/3 - cos(x) + C.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. $\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx$
  Записываем интеграл
2. $sin^{3}( x) = 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}+-1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}$
  Нечётная степень: запишем sin^3 u = sin u · (1 − cos² u)^1, затем подставим u = cos
3. $\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -1\int {u}^{0}\,du$
  Подставим u = cos(x), тогда du = (-sin(x)) dx
4. $\int {u}^{0}\,du = u$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. Шаги, часть 2
1. $\int 1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{0}\,dx = -\cos\left( x\right)$
  Вернёмся к исходной переменной u = cos(x)
2. $\int -1\sin\left( x\right) {\cos\left( x\right)}^{2}\,dx = \int {u}^{2}\,du$
  Подставим u = cos(x), тогда du = (-sin(x)) dx
3. $\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right)$
  Интегрируем почленно
4. $\int {\sin\left( x\right)}^{3}\,dx = \frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C$
  Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования
4. Ответ
$\frac{{\cos\left( x\right)}^{3}}{3}-\cos\left( x\right) + C$
∫ sin(x)³ dx = cos(x)³/3 - cos(x) + C
5. Проверка
- Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Первообразная sin(x) в кубе. Найдём неопределённый интеграл (первообразную) sin(x) в кубе по x.

Шаги, часть 1. Записываем интеграл. Нечётная степень: запишем sin в кубе u равно sin u умножить на (1 минус cos в квадрате u) в степени 1, затем подставим u равно cos. Подставим u равно cos(x), тогда du равно (минус sin(x)) dx. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1).

Шаги, часть 2. Вернёмся к исходной переменной u равно cos(x). Подставим u равно cos(x), тогда du равно (минус sin(x)) dx. Интегрируем почленно. Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования.

Ответ. Итак, ответ: cos(x) в кубе/3 минус cos(x) плюс C. Первообразная F удовлетворяет условию F штрих от x равно f(x). Поскольку производная любой константы равна 0, все первообразные отличаются на константу C.

Проверка. Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки