Неопределённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:13

Первообразная (x + 1)/x

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: ln(abs(x)) + x + C.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int \frac{x+1}{x}\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. $\int \frac{x+1}{x}\,dx$
  Записываем интеграл
2. $\frac{x+1}{x} = \frac{1}{x}+1$
  Разделим каждый член числителя на знаменатель
3. $\int {x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Правило обратной величины: ∫ 1/x dx = ln|x|
4. $\int 1{x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Вынесение постоянного множителя: ∫ k·f dx = k∫ f dx
3. Шаги, часть 2
1. $\int {x}^{0}\,dx = x$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
2. $\int 1{x}^{0}\,dx = x$
  Вынесение постоянного множителя: ∫ k·f dx = k∫ f dx
3. $\int 1{x}^{-1}+1{x}^{0}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x$
  Правило суммы: интегрируем почленно
4. $\int \frac{x+1}{x}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C$
  Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования
4. Ответ
$\ln\left(\left| x\right|\right)+ x + C$
∫ (x + 1) / x dx = ln(abs(x)) + x + C
5. Проверка
- Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Первообразная (x плюс 1)/x. Найдём неопределённый интеграл (первообразную) (x плюс 1) / x по x.

Шаги, часть 1. Записываем интеграл. Разделим каждый член числителя на знаменатель. Правило обратной величины: интеграл от 1/x dx равно ln|x|. Вынесение постоянного множителя: интеграл от k умножить на f dx равно k интеграл от f dx.

Шаги, часть 2. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1). Вынесение постоянного множителя: интеграл от k умножить на f dx равно k интеграл от f dx. Правило суммы: интегрируем почленно. Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования.

Ответ. Итак, ответ: ln(abs(x)) плюс x плюс C. Первообразная F удовлетворяет условию F штрих от x равно f(x). Поскольку производная любой константы равна 0, все первообразные отличаются на константу C.

Проверка. Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки