Неопределённые интегралыМатематический анализВуз≈ 0:51

Вычислите ∫ 2x/(x²+1) dx

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: ln(abs(x² + 1)) + C.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.3 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int \frac{2x}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. Пошагово
1. $\int \frac{2x}{{x}^{2}+1}\,dx$
  Записываем интеграл
2. $\int \frac{2x}{{x}^{2}+1}\,dx = \ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right)$
  Правило логарифма: числитель является константой, умноженной на производную знаменателя, ∫ u′/u dx = ln|u|
3. $\int \frac{2x}{{x}^{2}+1}\,dx = \ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right) + C$
  Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования
3. Ответ
$\ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right) + C$
∫ 2 x / (x² + 1) dx = ln(abs(x² + 1)) + C
4. Проверка
- Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: интеграл от 2x/(x в квадрате плюс 1) dx. Найдём неопределённый интеграл (первообразную) 2 x / (x в квадрате плюс 1) по x.

Пошагово. Записываем интеграл. Правило логарифма: числитель является константой, умноженной на производную знаменателя, интеграл от u штрих /u dx равно ln|u|. Упрощаем и добавляем постоянную интегрирования.

Ответ. Итак, ответ: ln(abs(x в квадрате плюс 1)) плюс C. Первообразная F удовлетворяет условию F штрих от x равно f(x). Поскольку производная любой константы равна 0, все первообразные отличаются на константу C.

Проверка. Продифференцировали ответ и сравнили его с подынтегральной функцией в 8 контрольных точках, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки